Esboce o gráfico das curvas dadas em coordendas polares:
rho=2-3 cos theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares, que é rho = 2 - 3 cos theta. Isso faz parte da matéria de Coordenadas Polares, e vamos precisar entender como transformar essa equação num gráfico visual usando alguns conceitos básicos de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, rho representa a distância do ponto à origem, e theta é o ângulo em relação ao eixo positivo de x. Nossa equação é rho = 2 - 3 cos theta. Vamos analisar como o valor de rho muda conforme variamos theta.

Passo 3

Vamos calcular alguns valores de rho para diferentes valores de theta para ter uma ideia de como a curva se comporta. Por exemplo:
  • Quando theta = 0:
    rho = 2 - 3 cos 0 = 2 - 3(1) = -1. Como rho não pode ser negativo, isso indica que o ponto está no sentido oposto.
  • Quando theta = pi2:
    rho = 2 - 3 cos pi2 = 2 - 3(0) = 2.
  • Quando theta = pi:
    rho = 2 - 3 cos pi = 2 - 3(-1) = 5.
  • Quando theta = 3pi2:
    rho = 2 - 3 cos 3pi2 = 2 - 3(0) = 2.
  • Quando theta = 2pi:
    rho = 2 - 3 cos 2pi = 2 - 3(1) = -1.

Passo 4

Observando esses valores, percebemos que rho varia de -1 a 5. Quando rho é negativo, o ponto está do lado oposto do ângulo theta. Isso sugere que a curva é simétrica em relação ao eixo de theta = 0.

Passo 5

Além disso, a forma da equação rho = a - b cos theta geralmente representa um tipo de cárdioide ou uma limaçon, dependendo dos valores de a e b. No nosso caso, como b > a, a curva será uma limaçon com uma dente ou um buquê.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, plotamos os pontos calculados e conectamos eles suavemente, levando em conta a simetria e os valores máximos e mínimos de rho. A curva vai ter uma forma desalinhada com a origem devido ao termo -3 cos theta.

Resposta

O gráfico da curva rho = 2 - 3 cos theta em coordenadas polares é uma limaçon com um dente, que tem um ponto mais próximo da origem e se estende até uma distância máxima de 5 unidades do centro. A curva é simétrica em relação ao eixo polar ( theta = 0) e apresenta uma forma arredondada com uma “dentada” característica devido à predominância do termo -3 cos theta.

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