Esboce o gráfico das curvas dadas em coordendas polares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva dada em coordenadas polares, que é
. Isso faz parte da matéria de Coordenadas Polares, e vamos precisar entender como transformar essa equação num gráfico visual usando alguns conceitos básicos de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
representa a distância do ponto à origem, e
é o ângulo em relação ao eixo positivo de
. Nossa equação é
. Vamos analisar como o valor de
muda conforme variamos
.
Passo 3
Vamos calcular alguns valores de
para diferentes valores de
para ter uma ideia de como a curva se comporta. Por exemplo:
-
Quando
:
. Como não pode ser negativo, isso indica que o ponto está no sentido oposto. -
Quando
:
. -
Quando
:
. -
Quando
:
. -
Quando
:
.
Passo 4
Observando esses valores, percebemos que
varia de -1 a 5. Quando
é negativo, o ponto está do lado oposto do ângulo
. Isso sugere que a curva é simétrica em relação ao eixo de
.
Passo 5
Além disso, a forma da equação
geralmente representa um tipo de cárdioide ou uma limaçon, dependendo dos valores de
e
. No nosso caso, como
, a curva será uma limaçon com uma dente ou um buquê.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, plotamos os pontos calculados e conectamos eles suavemente, levando em conta a simetria e os valores máximos e mínimos de
. A curva vai ter uma forma desalinhada com a origem devido ao termo
.
Resposta
O gráfico da curva
em coordenadas polares é uma limaçon com um dente, que tem um ponto mais próximo da origem e se estende até uma distância máxima de 5 unidades do centro. A curva é simétrica em relação ao eixo polar (
) e apresenta uma forma arredondada com uma “dentada” característica devido à predominância do termo
.