Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para “desenhar” a imagem da curva parametrizada
O conteúdo aqui é identificação de cônicas via eliminação do parâmetro: basta mostrar que a imagem é uma elipse, encontrar seu centro e semi-eixos, e indicar alguns pontos-chave e a orientação do traçado.
Passo 2
Escrevendo
temos
Como
, substituindo:
Passo 3
Da equação
vemos que a imagem de
é a elipse de centro
, semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
.
Passo 4
Para esboçar e entender a orientação (sentido em que o ponto “anda” quando
cresce):
- Em
: - Em
: - Em
: - Em
:
A curva parte de
, sobe para
, volta por
, desce até
e retorna a
, descrevendo a elipse no sentido anti-horário.
Passo 5
Esboço descritivo do traçado:
- Marque o ponto central
. - Desenhe eixos alinhados horizontalmente (comprimento total
) e verticalmente (comprimento total ). - Trace uma elipse suave que toca os pontos
, , , . - Indique com setas que o movimento é anti-horário conforme
cresce.
Resposta
A imagem de
é a elipse de equação
com centro em
, semi-eixos
(horizontal) e
(vertical), percorrida no sentido anti-horário.