Desenhe a imagem das seguintes curvas parametrizadas:
alpha: R longrightarrow R^2 dada por alpha(t)=(2+cos (t), 3+4 sen(t)).

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar” a imagem da curva parametrizada
alphacolon Rlongrightarrow R^2, alpha(t)=l(2+cos(t),,3+4sen(t)r)
O conteúdo aqui é identificação de cônicas via eliminação do parâmetro: basta mostrar que a imagem é uma elipse, encontrar seu centro e semi-eixos, e indicar alguns pontos-chave e a orientação do traçado.

Passo 2

Escrevendo
x=2+cos(t), y=3+4sen(t),
temos
cos(t)=x-2, sen(t)=y-34
Como cos^2(t)+sen^2(t)=1, substituindo:
(x-2)^2 + l(y-34r)^2 = 1

Passo 3

Da equação
(x-2)^21^2 + (y-3)^24^2 = 1
vemos que a imagem de alpha é a elipse de centro (2,3), semi-eixo horizontal a=1 e semi-eixo vertical b=4.

Passo 4

Para esboçar e entender a orientação (sentido em que o ponto “anda” quando cresce):
  • Em :
  • Em :
  • Em :
  • Em :
A curva parte de , sobe para , volta por , desce até e retorna a , descrevendo a elipse no sentido anti-horário.

Passo 5

Esboço descritivo do traçado:
  • Marque o ponto central (2,3).
  • Desenhe eixos alinhados horizontalmente (comprimento total 2) e verticalmente (comprimento total 8).
  • Trace uma elipse suave que toca os pontos (3,3), (2,7), (1,3), (2,-1).
  • Indique com setas que o movimento é anti-horário conforme t cresce.

Resposta

A imagem de alpha é a elipse de equação
(x-2)^21^2 + (y-3)^24^2 = 1,
com centro em (2,3), semi-eixos 1 (horizontal) e 4 (vertical), percorrida no sentido anti-horário.

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