Podemos afirmar que a função vetorial F dada por:
F(t)= (t cdot sen(1 / t), cos (t), & se t neq 0 (0,1), & se t=0
é contínua em t=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
Queremos saber se . Para isso usamos o fato de que uma função vetorial é contínua em um ponto se, e somente se, cada componente é contínua naquele ponto.

Passo 2

Analisamos a primeira componente
f1(t)=t,sinl(1/tr)
Como sin(1/t) está sempre entre -1 e 1, vale
-,|t|<= t,sin(1/t)<= |t|
Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze), à medida que tto0 temos
t,sin(1/t)to0

Passo 3

Analisamos a segunda componente
f2(t)=cos(t)
Esta é uma função elementar contínua em todo R, logo
limtto0cos(t)=cos(0)=1

Passo 4

Juntando os resultados, o limite vetorial é
limtto0F(t) =l(limtto0tsin(1/t),;limtto0cos(t)r) =(0,1)
Isso coincide exatamente com F(0)=(0,1).

Resposta

Sim. A função F é contínua em t=0 porque limtto0F(t)=(0,1)=F(0).

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