Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
1raizx^2+y^2(x d x+y d y)=0 ; y(4)=3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e uma condição inicial:
1raizx^2+y^2(x , dx + y , dy) = 0 com y(4) = 3
Nosso objetivo é encontrar a solução particular dessa equação que satisfaz a condição inicial dada. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Multiplicamos ambos os lados por raizx^2+y^2 para eliminar o denominador:
x , dx + y , dy = 0

Passo 3

Agora, observamos que a equação x , dx + y , dy = 0 é uma equação diferencial exata. Podemos reescrevê-la em forma diferencial:
d(12x^2 + 12y^2) = 0
Isso implica que:
12x^2 + 12y^2 = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por 2 para simplificar:
x^2 + y^2 = 2C
Podemos escrever isso como:
y^2 = 2C - x^2

Passo 5

Agora, precisamos determinar a constante C usando a condição inicial y(4) = 3. Substituímos x = 4 e y = 3 na equação:
3^2 = 2C - 4^2
Calculando:
9 = 2C - 16
2C = 25
C = 252

Passo 6

Substituindo o valor de C na equação geral:
y^2 = 2 times 252 - x^2 = 25 - x^2
Portanto:
y = raiz25 - x^2

Resposta

A solução particular que satisfaz a condição inicial é y = raiz25 - x^2.

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