Encontre a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
yx-1 d x+[ln (x-1)+2 y] d y=0 ; y(2)=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
com
M(x,y)=yx-1, N(x,y)=ln(x-1)+2y
e condição inicial y(2)=4.
Conteúdo: equações exatas. Vamos verificar exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial Psi(x,y) tal que dPsi=0, depois aplicar a condição inicial para achar a constante de integração.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata, comparando
partial Mpartial y e partial Npartial x
Calculamos
partial Mpartial y =partialpartial yl(yx-1r) =1x-1,
partial Npartial x =partialpartial xl(ln(x-1)+2yr) =1x-1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y), partial Psipartial y=N(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y) =integral yx-1,dx =yln(x-1)+h(y),
onde h(y) é função só de y.
Agora exigimos partialPsi/partial y=N:
partial Psipartial y =ln(x-1)+h'(y) stackrel!=ln(x-1)+2y ;Longrightarrow; h'(y)=2y ;Longrightarrow; h(y)=y^2
Logo
Psi(x,y)=yln(x-1)+y^2
A solução geral implícita é
yln(x-1)+y^2=C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(2)=4:
em x=2 temos x-1=1 e ln1=0, então
4cdot0 + 4^2 =C ;Longrightarrow; C=16
A solução particular fica
yln(x-1)+y^2=16

Resposta

yln(x-1)+y^2=16

Exercícios relacionados