resolva todas
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
y^prime=(3 x^2-1))(3+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = (3x^2 - 1),(3 + 2y)
O conteúdo aqui é “equações de variáveis separáveis”. Vamos reescrever y' como tfracdydx, separar as variáveis x e y em lados opostos e integrar.

Passo 2

Reescrevendo e separando variáveis, temos
dydx = (3x^2 - 1),(3 + 2y) Longrightarrow 13 + 2y,dy = (3x^2 - 1),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 13 + 2y,dy = integral (3x^2 - 1),dx
No lado esquerdo, fazemos a substituição u = 3 + 2y, de modo que du = 2,dy, então
integral 13 + 2y,dy = 12 integral 1u,du = 12 lnl|ur| = 12 lnl|3 + 2yr|
No lado direito,
integral (3x^2 - 1),dx = x^3 - x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Igualando os resultados de integração e simplificando, obtemos
12 lnl|3 + 2yr| = x^3 - x + C Longrightarrow lnl|3 + 2yr| = 2x^3 - 2x + C1,
com C1 = 2C. Exponenciando,
l|3 + 2yr| = e^C1,e^2x^3 - 2x
Definindo a constante arbitrária positiva ou negativa K = pm e^C1,
3 + 2y = K,e^2x^3 - 2x Longrightarrow y = K,e^2x^3 - 2x - 32

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = K,e^2x^3 - 2x - 32,
onde K é a constante arbitrária.

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