Desenhe as imagens das seguintes curvas:

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a imagem da curva paramétrica gamma(t)=(cos^2 t,,sin t) para 0<= t<=2pi. O conteúdo envolve eliminação de parâmetro e esboço de gráfico de uma curva no plano.

Passo 2

Definimos as coordenadas x=cos^2 t e y=sin t. Usando a identidade trigonométrica cos^2 t=1-sin^2 t, obtemos a relação entre x e y:
x=1-y^2

Passo 3

Da condição y=sin t com tin[0,2pi] segue yin[-1,1]. Logo o domínio de y para essa curva é o intervalo [-1,1], e x varia de 0 (quando |y|=1) até 1 (quando y=0).

Passo 4

Para o esboço: é um ramo da parábola de vértice em (1,0), abrindo para a esquerda, que intercepta o eixo y nos pontos (0,1) e (0,-1).
Quanto à orientação, para t=0 temos (x,y)=(1,0); aumentando t, a curva sobe até (0,1) em t=tfracpi2, retorna a (1,0) em t=pi, desce a (0,-1) em t=tfrac3pi2 e volta a (1,0) em t=2pi.

Resposta

A imagem é o segmento da parábola
x=1-y^2, yin[-1,1],
com vértice em (1,0), interceptando o eixo y em (0,1) e (0,-1), orientada conforme t cresce de 0 a 2π.

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