Resolva as inequações, isto é, encontre o conjunto dos
que satisfaçam às inequações:
Passo 1
A questão pede para resolver a inequação (5x+3)(2x+9)≥0, ou seja, encontrar todos os valores reais de x que deixam o produto de duas expressões lineares não negativo. Vamos usar análise de sinais das duas retas para isso.
Passo 2
Primeiro, identificamos as raízes de cada fator, pois são os pontos em que cada expressão muda de sinal. Para 5x+3=0, temos:
Para 2x+9=0, temos:
Passo 3
Agora temos dois pontos críticos: x=-9/2 e x=-3/5. Vamos ordenar na reta real:
Em cada intervalo, escolhemos um valor de teste para determinar o sinal de cada fator.
Passo 4
Para x<-9/2, por exemplo x=-5:
5x+3=5(-5)+3=-25+3=-22<0;
2x+9=2(-5)+9=-10+9=-1<0;
o produto é (+), logo (5x+3)(2x+9)>0 nesse intervalo.
Entre -9/2 e -3/5, por exemplo x=-1:
5x+3=5(-1)+3=-5+3=-2<0;
2x+9=2(-1)+9=-2+9=7>0;
produto é (-), portanto (5x+3)(2x+9)<0 nesse intervalo.
Para x>-3/5, por exemplo x=0:
5x+3=3>0;
2x+9=9>0;
produto é (+), então (5x+3)(2x+9)>0 nesse intervalo.
5x+3=5(-5)+3=-25+3=-22<0;
2x+9=2(-5)+9=-10+9=-1<0;
o produto é (+), logo (5x+3)(2x+9)>0 nesse intervalo.
Entre -9/2 e -3/5, por exemplo x=-1:
5x+3=5(-1)+3=-5+3=-2<0;
2x+9=2(-1)+9=-2+9=7>0;
produto é (-), portanto (5x+3)(2x+9)<0 nesse intervalo.
Para x>-3/5, por exemplo x=0:
5x+3=3>0;
2x+9=9>0;
produto é (+), então (5x+3)(2x+9)>0 nesse intervalo.
Passo 5
Como a inequação é ≥0, incluímos também os pontos onde o produto é zero, ou seja, x=-9/2 e x=-3/5. Unindo os intervalos onde o produto é positivo ou zero, o conjunto solução é:
Resposta
(-\infty,-\tfrac{9}{2}] \cup [-\tfrac{3}{5},+\infty)