O que pode ser dito sobre o número complexo z, se z=barz ? E se (z)^2=(barz)^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas condições envolvendo um número complexo z e seu conjugado bar z. O tema é propriedades do conjugado e interpretação das partes real e imaginária.

Passo 2

Para a condição z=bar z: o conjugado de z=x+iy é bar z=x-iy. Se z=bar z, então
x+iy = x-iy
Comparando as partes imaginárias temos y=-y, logo y=0. Isso significa que z=x+0i é um número real.

Passo 3

Para a condição z^2=(bar z)^2: começamos escrevendo
z^2 - (bar z)^2 = 0
Usando a diferença de quadrados:
(z - bar z)(z + bar z) = 0
Sabemos que z - bar z = 2i,Im(z) e z + bar z = 2,Re(z). Logo
2i,Im(z) cdot 2,Re(z) = 0
Um produto é zero se e somente se uma das parcelas é zero. Assim temos duas possibilidades:
  • Im(z)=0, ou seja, z é real;
  • Re(z)=0, ou seja, z é puramente imaginário.

Resposta

Se z=bar z, então z é real. Se z^2=(bar z)^2, então ou z é real ou z é puramente imaginário.

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