Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido de percurso:
gamma(t)=(raiz2 cos t, 2 sin t), t in R

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
gamma(t) = (raiz2cos t,;2sin t), tinR,
que é um caso clássico de curva elíptica no plano. Vamos identificar sua forma (equação implícita), seus vértices e o sentido de percurso conforme o parâmetro t aumenta.

Passo 2

Para encontrar a equação implícita, isolamos cos t e sin t e usamos a identidade cos^2t+sin^2t=1:
x = raiz2cos t Longrightarrow cos t = xraiz2,
y = 2sin t Longrightarrow sin t = y2
Substituindo em cos^2t + sin^2t = 1
l(xraiz2r)^2 + l(y2r)^2 = 1 ;Longrightarrow; x^22 + y^24 = 1,
que é a equação de uma elipse centrada na origem.

Passo 3

Da equação tfracx^22 + tfracy^24 = 1 vemos que os semi-eixos são
a = raiz2na direção x, b = 2na direção y çãçã
Os vértices são, portanto,
(pm raiz2,0) e (0,pm 2).

Passo 4

Para determinar o sentido de percurso, avalie gamma(0) = (raiz2,0). Logo que t cresce para valores positivos pequenos, sin t>0 e cos t ainda positivo, o ponto sobe no ramo direito da elipse. Isso indica que a curva é percorrida no sentido anti-horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).

Resposta

A curva é a elipse de equação
com semi-eixos e , e é percorrida no sentido anti-horário.
Um esboço aproximado é:
        y
        \uparrow
     (\(0,2\))\bullet
       / \\
      /   \\
(\(-\sqrt{2},0\))\bullet   \bullet(\(\sqrt{2},0\))
      \   /
       \ /
       \bullet(\(0\),\(-2\))
        \downarrow
        x
As setas ao longo do contorno devem indicar o movimento anti-horário.

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