Desenhe as imagens das seguintes curvas, indicando o sentido de percurso:
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
que é um caso clássico de curva elíptica no plano. Vamos identificar sua forma (equação implícita), seus vértices e o sentido de percurso conforme o parâmetro
aumenta.
Passo 2
Para encontrar a equação implícita, isolamos
e
e usamos a identidade
:
Substituindo em
dá
que é a equação de uma elipse centrada na origem.
Passo 3
Da equação
vemos que os semi-eixos são
Os vértices são, portanto,
e
.
Passo 4
Para determinar o sentido de percurso, avalie
. Logo que
cresce para valores positivos pequenos,
e
ainda positivo, o ponto sobe no ramo direito da elipse. Isso indica que a curva é percorrida no sentido anti-horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio).
Resposta
A curva é a elipse de equação
com semi-eixos
e
, e é percorrida no sentido anti-horário.
Um esboço aproximado é:
y
\uparrow
(\(0,2\))\bullet
/ \\
/ \\
(\(-\sqrt{2},0\))\bullet \bullet(\(\sqrt{2},0\))
\ /
\ /
\bullet(\(0\),\(-2\))
\downarrow
x
As setas ao longo do contorno devem indicar o movimento anti-horário.