Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^3+y^3+3 x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde ambas são iguais a zero (pontos críticos) e analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y .
fx = partial fpartial x = 3x^2 + 3y
fy = partial fpartial y = 3y^2 + 3x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
3x^2 + 3y = 0 (1)
3y^2 + 3x = 0 (2)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
x^2 + y = 0 (1)
y^2 + x = 0 (2)

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos expressar y em termos de x :
y = -x^2
Substituindo isso na equação (2):
(-x^2)^2 + x = 0 Rightarrow x^4 + x = 0
Fatorando x :
x(x^3 + 1) = 0
Então, x = 0 ou x^3 + 1 = 0 Rightarrow x = -1

Passo 5

Vamos encontrar os valores de y correspondentes a cada valor de x :
  • Para x = 0 :
y = -0^2 = 0
  • Para x = -1 :
y = -(-1)^2 = -1
Portanto, os pontos críticos são (0, 0) e (-1, -1) .

Passo 6

Agora, vamos determinar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 3
O discriminante D é dado por:
D = fxx fyy - (fxy)^2

Passo 7

Vamos calcular D em cada ponto crítico.
  • Para (0, 0) :
fxx = 6(0) = 0
fyy = 6(0) = 0
D = (0)(0) - (3)^2 = -9
Como D < 0 , o ponto (0, 0) é um ponto de sela.
  • Para (-1, -1) :
fxx = 6(-1) = -6
fyy = 6(-1) = -6
D = (-6)(-6) - (3)^2 = 36 - 9 = 27
Como D > 0 e fxx < 0 , o ponto (-1, -1) é um ponto de máximo local.

Resposta

A função f(x, y) = x^3 + y^3 + 3xy possui:
  • Um ponto de máximo local em (-1, -1) .
  • Um ponto de sela em (0, 0) .

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