Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente derivadas parciais e análise de pontos críticos. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar onde ambas são iguais a zero (pontos críticos) e analisar a natureza desses pontos usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações. Da equação (1), podemos expressar
em termos de
:
Substituindo isso na equação (2):
Fatorando
:
Então,
ou
Passo 5
Vamos encontrar os valores de
correspondentes a cada valor de
:
- Para
:
- Para
:
Portanto, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar a natureza desses pontos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
O discriminante
é dado por:
Passo 7
Vamos calcular
em cada ponto crítico.
- Para
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela.
- Para
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Um ponto de máximo local em
. - Um ponto de sela em
.