Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o estudo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Da equação (1), podemos expressar
em termos de
:
Substituímos esse valor na equação (2):
Passo 5
Com o valor de
, substituímos de volta na equação
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 6
Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
Passo 7
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, o ponto crítico
é um mínimo local.
Passo 8
Além desse ponto crítico, observamos que a função é quadrática e não possui outros pontos críticos. Não há máximos locais nem pontos de sela para essa função específica.
Resposta
A função
possui um mínimo local no ponto
. Não há máximos locais nem pontos de sela para essa função.