Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^2+x y+y^2+y

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função f(x, y) = x^2 + xy + y^2 + y . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o estudo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são iguais a zero. Vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de f em relação a x é:
fx = partial fpartial x = 2x + y
A derivada parcial de f em relação a y é:
fy = partial fpartial y = x + 2y + 1

Passo 3

Agora, igualamos cada derivada parcial a zero para encontrar os pontos críticos:
2x + y = 0 (1)
x + 2y + 1 = 0 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de x e y .

Passo 4

Da equação (1), podemos expressar y em termos de x :
y = -2x
Substituímos esse valor na equação (2):
x + 2(-2x) + 1 = 0
x - 4x + 1 = 0
-3x + 1 = 0
-3x = -1
x = 13

Passo 5

Com o valor de x = 13 , substituímos de volta na equação y = -2x :
y = -2 ( 13 ) = -23
Portanto, o ponto crítico é ( 13, -23 ) .

Passo 6

Para classificar esse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 1

Passo 7

Calculamos o discriminante D :
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2
D = 2 cdot 2 - (1)^2
D = 4 - 1
D = 3
Como D > 0 e fxx > 0 , o ponto crítico ( 13, -23 ) é um mínimo local.

Passo 8

Além desse ponto crítico, observamos que a função é quadrática e não possui outros pontos críticos. Não há máximos locais nem pontos de sela para essa função específica.

Resposta

A função f(x, y) = x^2 + xy + y^2 + y possui um mínimo local no ponto ( 13, -23 ) . Não há máximos locais nem pontos de sela para essa função.

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