Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
\quad \sigma(t)=\left(e^{-t} \cos t, e^{-t} \operatorname{sen} t\right), \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado pede: desenhar a imagem da curva paramétrica
\sigma(t)=\bigl(e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\sin t\bigr),\qquad t\ge 0.
Informações dadas e perguntas implicitas que vou responder:
  • A função parâmetro é t e o domínio é [0,\infty).
  • Cada ponto da imagem é (x,y)=(e^{-t}\cos t,\; e^{-t}\sin t).
  • O pedido prático é: que forma tem essa curva? onde começa? para onde vai quando t\to\infty? que orientação (sentido) tem? quais pontos notáveis desenhar para esboçar?

Passo 2

Converter para coordenadas polares é uma boa estratégia para visualizar curvas do tipo (r\cos\theta,r\sin\theta).
Definições básicas:
  • Em coordenadas cartesianas x e y e em polares r e \theta valem
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
  • Para a nossa curva, calcule r e \theta em termos de t.
Calcule r:
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(e^{-t}\cos t)^{2}+(e^{-t}\sin t)^{2}} =\sqrt{e^{-2t}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)} = e^{-t}.
Calcule \theta: como x=e^{-t}\cos t e y=e^{-t}\sin t e e^{-t}>0, tem-se
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)=t.
Portanto a curva em coordenadas polares satisfaz
r=e^{-\theta},\qquad \theta\ge 0.

Passo 3

Interpretação da equação polar r=e^{-\theta}:
  • É da forma r=a e^{b\theta} com a=1 e b=-1. Curvas r=a e^{b\theta} são espirais logarítmicas (ou exponenciais em \theta).
  • Como b=-1<0, quando \theta aumenta o raio r decai exponencialmente. Logo a curva é uma espiral que vai enrolando-se em torno da origem encolhendo para ela.
  • O domínio \theta\ge 0 significa que começamos em \theta=0 e giramos no sentido de aumento de \theta (sentido anti-horário).
Resumo qualitativo: é uma espiral logarítmica que começa fora (em r=1) e vai aproximando-se do ponto (0,0) fazendo infinitas voltas conforme t\to\infty.

Passo 4

Pontos notáveis e valores numéricos para rascunho (úteis para desenhar à mão; todos os valores estão em notação exata e, quando conveniente, com aproximação decimal):
  • Em t=0:
\sigma(0)=(e^{0}\cos 0,\; e^{0}\sin 0)=(1,0).
  • Em t=\dfrac{\pi}{4}:
\sigma\!\Bigl(\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=\Bigl(e^{-\pi/4}\cos\dfrac{\pi}{4},\; e^{-\pi/4}\sin\dfrac{\pi}{4}\Bigr )=\Bigl(\dfrac{e^{-\pi/4}}{\sqrt{2}},\;\dfrac{e^{-\pi/4}}{\sqrt{2}}\Bigr) \approx (0,323,\;0,323).
  • Em t=\dfrac{\pi}{2}:
\sigma\!\Bigl(\dfrac{\pi}{2}\Bigr)=\bigl(0,\; e^{-\pi/2}\bigr)\approx(0,\;0,208).
  • Em t=\pi:
\sigma(\pi)=\bigl(-e^{-\pi},\;0\bigr)\approx(-0,0432,\;0).
  • Em t=2\pi:
\sigma(2\pi)=\bigl(e^{-2\pi},\;0\bigr)\approx(0,00187,\;0).
Observações práticas:
  • Os cruzamentos com o eixo x ocorrem em t=n\pi, com
\sigma(n\pi)=\bigl((-1)^{n}e^{-n\pi},\;0\bigr).
  • Os cruzamentos com o eixo y ocorrem em t=\dfrac{\pi}{2}+n\pi, com
\sigma\Bigl(\dfrac{\pi}{2}+n\pi\Bigr)=\bigl(0,\;(-1)^{n}e^{-(\frac{\pi}{2}+n\pi)}\bigr).
  • Os raios caem muito rápido: a cada volta completa ( \Delta t=2\pi) o raio é multiplicado por e^{-2\pi}, número muito pequeno. Então as voltas ficam rapidamente muito próximas do centro.

Passo 5

Direção, regularidade e tangente (isso ajuda a desenhar o sentido correto):
  • Derivada da curva:
\sigma'(t)=\bigl(-e^{-t}(\cos t+\sin t),\; e^{-t}(\cos t-\sin t)\bigr).
  • Norma da derivada:
\|\sigma'(t)\|=e^{-t}\sqrt{(\cos t+\sin t)^{2}+(\cos t-\sin t)^{2}} = e^{-t}\sqrt{2(\cos^{2}t+\sin^{2}t)}=e^{-t}\sqrt{2}>0.
Logo a curva é regular para todo t\ge0 (não para por ali).
  • Direção inicial: em t=0,
\sigma'(0)=(-1,\;1),
ou seja, na origem do desenho (1,0) a tangente aponta para cima e para a esquerda — isto indica que a curva sai de (1,0) entrando para o primeiro/quadrante superior e gira no sentido anti-horário. Assim a orientação é anti-horária (sentido de \theta crescente).

Passo 6

Como desenhar “na prática” (passo a passo para rascunho sem régua complicada):
  1. Marque o ponto inicial (1,0).
  2. Marque alguns pontos calculados no Passo 4: \sigma(\tfrac{\pi}{4}), \sigma(\tfrac{\pi}{2}), \sigma(\pi), \sigma(2\pi). Note que cada volta fica muito mais perto do origem.
  3. Una suavemente esses pontos com uma curva que rode anti-horariamente e vá se aproximando do ponto (0,0) sem nunca alcançá-lo (tende a ele quando t\to\infty).
  4. Coloque setas indicando o sentido do movimento conforme t aumenta (setas apontando para dentro, no sentido anti-horário).
  5. Opção: desenhe círculos concêntricos de raios 1,\;e^{-\pi/2},\;e^{-\pi},\;e^{-3\pi/2} como guia — a espiral cortará estes círculos nos ângulos correspondentes.

Passo 7

Interpretação final em palavras amigáveis: você tem uma espiral que começa em (1,0), gira no sentido anti-horário, e vai encolhendo rapidamente para o ponto (0,0) fazendo infinitas voltas. É uma espiral logarítmica dada por r=e^{-\theta}.
Vai ficar ótimo no rascunho se você marcar os pontos sugeridos e ligar com uma curva suave — e respira fundo, isso é bem visual: a matemática aqui só pede reconhecer o padrão polar e alguns pontos-chave.

Resposta

A imagem é a espiral logarítmica dada por r=e^{-\theta} para \theta\ge 0; começa em (1,0), gira no sentido anti-horário e aproxima-se de (0,0) quando t\to\infty.

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