Desenhe as imagens das seguintes curvas planas.
Passo 1
O enunciado pede: desenhar a imagem da curva paramétrica
Informações dadas e perguntas implicitas que vou responder:
- A função parâmetro é
e o domínio é . - Cada ponto da imagem é
. - O pedido prático é: que forma tem essa curva? onde começa? para onde vai quando
? que orientação (sentido) tem? quais pontos notáveis desenhar para esboçar?
Passo 2
Converter para coordenadas polares é uma boa estratégia para visualizar curvas do tipo
.
Definições básicas:
Definições básicas:
- Em coordenadas cartesianas
e e em polares e valem
- Para a nossa curva, calcule
e em termos de .
Calcule
:
Calcule
: como
e
e
, tem-se
Portanto a curva em coordenadas polares satisfaz
Passo 3
Interpretação da equação polar
:
- É da forma
com e . Curvas são espirais logarítmicas (ou exponenciais em ). - Como
, quando aumenta o raio decai exponencialmente. Logo a curva é uma espiral que vai enrolando-se em torno da origem encolhendo para ela. - O domínio
significa que começamos em e giramos no sentido de aumento de (sentido anti-horário).
Resumo qualitativo: é uma espiral logarítmica que começa fora (em
) e vai aproximando-se do ponto
fazendo infinitas voltas conforme
.
Passo 4
Pontos notáveis e valores numéricos para rascunho (úteis para desenhar à mão; todos os valores estão em notação exata e, quando conveniente, com aproximação decimal):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Observações práticas:
- Os cruzamentos com o eixo
ocorrem em , com
- Os cruzamentos com o eixo
ocorrem em , com
- Os raios caem muito rápido: a cada volta completa (
) o raio é multiplicado por , número muito pequeno. Então as voltas ficam rapidamente muito próximas do centro.
Passo 5
Direção, regularidade e tangente (isso ajuda a desenhar o sentido correto):
- Derivada da curva:
- Norma da derivada:
Logo a curva é regular para todo
(não para por ali).
- Direção inicial: em
,
ou seja, na origem do desenho
a tangente aponta para cima e para a esquerda — isto indica que a curva sai de
entrando para o primeiro/quadrante superior e gira no sentido anti-horário. Assim a orientação é anti-horária (sentido de
crescente).
Passo 6
Como desenhar “na prática” (passo a passo para rascunho sem régua complicada):
- Marque o ponto inicial
. - Marque alguns pontos calculados no Passo 4:
, , , . Note que cada volta fica muito mais perto do origem. - Una suavemente esses pontos com uma curva que rode anti-horariamente e vá se aproximando do ponto
sem nunca alcançá-lo (tende a ele quando ). - Coloque setas indicando o sentido do movimento conforme
aumenta (setas apontando para dentro, no sentido anti-horário). - Opção: desenhe círculos concêntricos de raios
como guia — a espiral cortará estes círculos nos ângulos correspondentes.
Passo 7
Interpretação final em palavras amigáveis: você tem uma espiral que começa em
, gira no sentido anti-horário, e vai encolhendo rapidamente para o ponto
fazendo infinitas voltas. É uma espiral logarítmica dada por
.
Vai ficar ótimo no rascunho se você marcar os pontos sugeridos e ligar com uma curva suave — e respira fundo, isso é bem visual: a matemática aqui só pede reconhecer o padrão polar e alguns pontos-chave.
Resposta
A imagem é a espiral logarítmica dada por
para
; começa em
, gira no sentido anti-horário e aproxima-se de
quando
.