Desenhe a molécula e a operação de simetria que permita identificar os seguintes elementos de simetria:
um eixo \mathrm{C}_{3} e um plano \sigma_{\mathrm{v}} na molécula de \mathrm{NH}_{3}

Passo 1

O enunciado pede que a gente represente a molécula de \mathrm{NH_3} (pirâmide trigonal) e destaque nela
  1. um eixo de rotação \mathrm{C}_3 (rotação de 120^\circ),
  2. um plano vertical \sigma_v que refletirá parte dos hidrogênios.
    Para isso precisamos do modelo geométrico da pirâmide e da definição do eixo e do plano em coordenadas.

Passo 2

Vamos posicionar os três hidrogênios no plano xy formando um triângulo equilátero de lado r e o nitrogênio acima desse plano a uma altura h:
\mathrm{H}_1:(r,0,0),\quad \mathrm{H}_2:\bigl(-\tfrac{r}{2},\tfrac{r\sqrt{3}}{2},0\bigr),\quad \mathrm{H}_3:\bigl(-\tfrac{r}{2},-\tfrac{r\sqrt{3}}{2},0\bigr),
\mathrm{N}:(0,0,h).
Esquematicamente, visto de lado (eixo z vertical):
\r\ (plano xy)
\r H₂ H₃
\r \ /
\r H₁
\r |
\r N ← átomo de nitrogênio acima do plano dos H

Passo 3

Eixo \mathrm{C}_3: é exatamente o eixo z que passa por \mathrm{N} e pelo centro do triângulo de hidrogênios.
A operação \mathrm{C}_3 é a rotação de 120^\circ em torno do eixo z:
(x,y,z)\;\xrightarrow{C_3}\;(x\cos120^\circ - y\sin120^\circ,\;x\sin120^\circ + y\cos120^\circ,\;z).
Em particular
\mathrm{H}_1\to\mathrm{H}_2,
\mathrm{H}_2\to\mathrm{H}_3,
\mathrm{H}_3\to\mathrm{H}_1,
enquanto \mathrm{N} fica fixo.

Passo 4

Plano \sigma_v: escolhemos o plano xz, que contém o eixo z ( \mathrm{C}_3) e o ligante \mathrm{N}\!-\!\mathrm{H}_1 (pois \mathrm{H}_1 está em (r,0,0)).
A reflexão nesse plano faz
(x,y,z)\;\xrightarrow{\sigma_v}\;(x,-y,z),
logo troca
\mathrm{H}_2\bigl(-\tfrac{r}{2},\tfrac{r\sqrt{3}}{2},0\bigr)\leftrightarrow \mathrm{H}_3\bigl(-\tfrac{r}{2},-\tfrac{r\sqrt{3}}{2},0\bigr),
e deixa \mathrm{H}_1 e \mathrm{N} invariantes.

Resposta

Eixo \mathrm{C}_3: eixo z passando por \mathrm{N} e pelo centro do triângulo de hidrogênios, rotação de 120^\circ que cicla \mathrm{H}_1\to\mathrm{H}_2\to\mathrm{H}_3.
Plano \sigma_v: plano xz (contendo o eixo \mathrm{C}_3 e o ligante \mathrm{N}\!-\!\mathrm{H}_1), cuja reflexão troca \mathrm{H}_2\leftrightarrow\mathrm{H}_3.

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