Desenhe orbitais moleculares ligantes e antiligantes resultantes da combinação linear dos orbitais atômicos considerando o eixo z o eixo de ligação:
s com s ,

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe os orbitais moleculares ligante e antiligante resultantes da combinação linear de dois orbitais atômicos s quando o eixo z é o eixo de ligação. Informações dadas e claras a partir do enunciado:
  • Temos dois átomos idênticos, cada um com um orbital s (esférico) que vão se combinar.
  • O eixo de ligação é o eixo z (ou seja, os núcleos estão sobre o eixo z).
  • Queremos os dois resultados: orbital molecular ligante (construtivo) e orbital molecular antiligante (destrutivo).
    Nada mais foi dado (distância interatômica, população eletrônica etc.), então vamos trabalhar de maneira geral.

Passo 2

Descrição física e geométrica dos orbitais atômicos s antes de combinar:
  • Um orbital s é esférico: sua amplitude depende só da distância ao núcleo, não da direção. Seja \phi_A(\mathbf{r}) o orbital s centrado no átomo A e \phi_B(\mathbf{r}) o s centrado no átomo B.
  • Colocamos os núcleos em z=-R/2 e z=+R/2 (distância internuclear R). Essa escolha é apenas para desenhar de forma simétrica.
  • Cada \varphi tem fase (sinal) em todas as direções; para desenhar fases usamos sinais + e - nas regiões onde a função de onda tem sinal positivo ou negativo.

Passo 3

Formação das combinações lineares (CLAO) e fórmulas importantes:
  • As duas combinações lineares básicas são a soma (construtiva) e a diferença (destrutiva):
\psi_+(\mathbf{r}) = N\bigl(\phi_A(\mathbf{r}) + \phi_B(\mathbf{r})\bigr)
\psi_-(\mathbf{r}) = N\bigl(\phi_A(\mathbf{r}) - \phi_B(\mathbf{r})\bigr)
  • Aqui N é a constante de normalização. Para átomos idênticos existe o overlap integral
S = \int \phi_A(\mathbf{r})\phi_B(\mathbf{r})\,d\tau.
A normalização é
N = \frac{1}{\sqrt{2(1\pm S)}},
onde + se aplica a \psi_+ e - a \psi_-. Se S é pequeno (átomos relativamente distantes), N\approx 1/\sqrt{2}.
  • Observação didática: \psi_+ aumenta a amplitude entre núcleos (mais densidade eletrônica entre eles); \psi_- tem mudança de sinal entre núcleos, criando um nó (plano nodal) entre os núcleos.

Passo 4

Interpretação do que significa “ligante” e “antiligante” para esses \psi:
  • Ligante ( \psi_+):
    • As duas contribuições \phi_A e \phi_B somam com o mesmo sinal na região entre núcleos → interferência construtiva.
    • A densidade eletrônica \rho(\mathbf{r}) = |\psi_+(\mathbf{r})|^2 é aumentada entre os núcleos.
    • Maior densidade entre núcleos significa que os elétrons atraem ambos os núcleos juntos → estabiliza o sistema → energia do orbital menor que a média dos atômicos.
    • Simetria: como não muda se girarmos em torno do eixo z, esse orbital é um orbital do tipo \sigma. Em notação comum para os primeiros orbitais s seria \sigma_{1s}.
  • Antiligante ( \psi_-):
    • \phi_A e \phi_B têm sinais opostos entre os núcleos → interferência destrutiva entre eles.
    • Há um plano nodal aproximadamente no ponto médio entre os núcleos onde \psi_- se anula → \rho muito pequena (ou zero) nessa região.
    • Menos densidade entre núcleos significa que os elétrons não ajudam a ligar; além disso, existe energia associada ao nó → energia do orbital maior que a média atômica.
    • Também é simétrico ao redor do eixo (muda de sinal passando pelo plano nodal, mas é axialmente simétrico) → é um orbital do tipo \sigma antiligante, escrito \sigma_{1s}^*.

Passo 5

Como desenhar passo a passo na prova (instruções práticas):
  1. Desenhe dois núcleos sobre o eixo z: círculos ou pontos em z=-R/2 e z=+R/2.
  2. Para cada orbital atômico s desenhe uma nuvem esférica ao redor de cada núcleo (mesma escala).
  3. Para o orbital ligante \psi_+:
    • Desenhe as duas esferas sobrepostas no espaço entre os núcleos, indicando que a região de sobreposição tem a mesma fase (marque com “+” em ambas as nuvens ou pinte da mesma cor).
    • Mostre densidade aumentada entre os núcleos (faça a região central mais espessa/escura).
    • Opcional: escreva a etiqueta \sigma_{1s}.
  4. Para o orbital antiligante \psi_-:
    • Desenhe as duas esferas com fases opostas (marque uma com “+” e a outra com “−”).
    • Coloque um plano nodal (uma linha ou plano no meio, perpendicular ao eixo z) onde a função se anula; desenhe as nuvens separadas, sem preenchimento entre elas.
    • Opcional: desenhe contornos que mostrem a mudança de sinal e etiquete \sigma_{1s}^*.
  5. Se possível, acrescente setas verticais de energia: desenhe uma linha para a energia dos orbitais atômicos, então uma abaixo para \sigma_{1s} (mais estável) e uma acima para \sigma_{1s}^* (menos estável).

Passo 6

Explicações adicionais para consolidar (por que o nó e por que a energia muda):
  • O nó em \psi_- aparece porque em cada ponto entre os núcleos as contribuições \phi_A e \phi_B têm sinais opostos e se cancelam.
  • Energia: formação de \psi_+ permite que o elétron esteja mais próximo da região entre núcleos, diminuindo energia potencial (estabiliza). Em \psi_-, a redução de densidade entre núcleos e a presença de um nó tornam o elétron menos capaz de estabilizar ambos os núcleos, elevando a energia.
  • Notação prática: quando os orbitais combinados são de natureza sigma (eixo de ligação), usamos \sigma para o ligante e \sigma^* para o antiligante. Para orbitais 1s específicos, é comum escrever \sigma_{1s} e \sigma_{1s}^*.

Resposta

Ligante: \psi_+ = N(\phi_A+\phi_B) — orbital \sigma_{1s}: esferas sobrepostas com mesma fase (marcar “+” em ambas), densidade aumentada entre núcleos, sem nó entre átomos, energia abaixo da média atômica.
Antiligante: \psi_- = N(\phi_A-\phi_B) — orbital \sigma_{1s}^*: esferas com fases opostas (marcar “+” e “−”), plano nodal no ponto médio (região de zero de função), pouca/nenhuma densidade entre núcleos, energia acima da média atômica.

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