Desenhe orbitais moleculares ligantes e antiligantes resultantes da combinação linear dos orbitais atômicos considerando o eixo z o eixo de ligação:
pz com pz

Passo 1

O enunciado pede para desenhar (ou descrever graficamente) os orbitais moleculares ligante e antiligante resultantes da combinação linear de dois orbitais atômicos pz quando o eixo z é o eixo de ligação. Informações dadas e objetivo claros:
  • Temos dois átomos idênticos (ou genéricos) com cada um um orbital \(p_z) apontando ao longo do eixo z (o eixo de ligação).
  • Queremos as duas combinações principais: a combinação que forma o orbital ligante e a que forma o orbital antiligante, e como desenhá-los/interpretá-los (formas, fases, nós, densidade eletrônica e energia relativa).

Passo 2

O que é um orbital \(p_z) e como ele aparece graficamente:
  • Um orbital \(p_z) tem dois lóbulos ao longo do eixo z, um lóbulo acima do núcleo e outro abaixo (ou à direita/esquerda dependendo da orientação), com sinais/oposições de fase opostos entre os lóbulos. Dizemos “fase +” e “fase −” para indicar sinais da função de onda.
  • Cada orbital atômico pode ser representado por uma função de onda \(\phi_{pz,A}(r)) para o átomo A e \(\phi_{pz,B}(r)) para o átomo B. Essas \(\varphi) têm forma de dois lóbulos alinhados ao eixo z.

Passo 3

Princípio da combinação linear de orbitais atômicos (LCAO) — ideia central:
  • Podemos formar orbitais moleculares como combinações lineares das funções atômicas.
  • As duas combinações importantes são a soma e a diferença:
\psi_{\text{ligante}} = N\big(\phi_{pz,A} + \phi_{pz,B}\big)
\psi_{\text{antiligante}} = N\big(\phi_{pz,A} - \phi_{pz,B}\big)
onde N é uma constante de normalização que garante que \int |\psi|^2 \, d\tau = 1. Aqui \phi_{pz,A} é o orbital \(p_z) do átomo A e \phi_{pz,B} é o do átomo B.
Explicação do que isto significa:
  • Soma (adição): as partes com mesmas fases se somam (interferência construtiva) na região entre os núcleos → aumento de densidade eletrônica nessa região → ligação estabilizadora.
  • Diferença (subtração): as partes com fases opostas se cancelam (interferência destrutiva) na região entre os núcleos → nó (amplitude zero) entre os núcleos → orbita antiligante, desestabiliza.

Passo 4

Descrição gráfica do orbital ligante \psi_{\text{ligante}}:
  • Situação: escolha as fases de modo que os lóbulos próximos entre os dois átomos tenham o mesmo sinal (por exemplo, lóbulo positivo do átomo A voltado para B e lóbulo positivo do átomo B voltado para A).
  • Consequência: há sobreposição construtiva entre os lóbulos dirigidos um ao outro; a função de onda tem amplitude reforçada na região entre os núcleos.
  • Propriedades visuais e físicas:
    • Não existe nó entre os núcleos (a função de onda não passa por zero ali).
    • A densidade eletrônica |\psi_{\text{ligante}}|^2 é maior entre os núcleos — isso “cola” os átomos, reduzindo a energia eletrônica.
    • Esse orbital é simétrico em rotação em torno do eixo z (ou seja, é um orbital do tipo sigma). Rotacionando o sistema em torno do eixo de ligação não se obtém mudança de sinal.
  • Nome usual: \sigma_{2p} (quando os p envolvidos são de segunda camada; mais genericamente \sigma(p_z+p_z)).
Pequeno esboço ASCII (lado a lado; + indica fase positiva):
Atom A Região entre núcleos Atom B
(+ lóbulo) ———— [++ overlap ++] ———— (+ lóbulo)

Passo 5

Descrição gráfica do orbital antiligante \psi_{\text{antiligante}}:
  • Situação: o lóbulo do átomo A voltado para o B tem sinal oposto ao lóbulo do átomo B voltado para A (por exemplo, A tem + voltado para B e B tem − voltado para A).
  • Consequência: há cancelamento (interferência destrutiva) na região entre os núcleos; a função de onda cruza por zero em um plano perpendicular ao eixo z localizado entre os núcleos — esse é o nó.
  • Propriedades visuais e físicas:
    • Existe um nó (plano nodal) entre os núcleos onde \psi_{\text{antiligante}} = 0.
    • A densidade eletrônica |\psi_{\text{antiligante}}|^2 é muito baixa entre os núcleos, portanto não há “cola” eletrônica; isso aumenta a energia relativa do orbital.
    • Também é simétrico por rotação em torno do eixo z quanto à forma (é do tipo sigma), mas muda de sinal em cruzar o plano nodal — por isso é chamado \sigma^*.
  • Nome usual: \sigma_{2p}^* (ou \sigma^*(p_z-p_z)).
Pequeno esboço ASCII (sinal trocado; X marca o nó):
Atom A Região entre núcleos Atom B
(+ lóbulo) ———— [ X nó (ψ=0) ] ———— (− lóbulo)

Passo 6

Comparação de energias, nós e número de centros:
  • Energia: E(\sigma_{2p}) < E(p_z\\ \text{atômico}) < E(\sigma_{2p}^*)ô. Ou seja, o ligante fica mais baixo em energia que os atômicos; o antiligante fica mais alto.
  • Nó: \sigma_{2p} tem zero nós entre núcleos; \sigma_{2p}^* tem um nó entre núcleos (plano nodal perpendicular ao eixo z).
  • Sobreposição: a força da ligação depende do quanto os lóbulos se sobrepõem (sobreposição espacial e compatibilidade de fase). Para p_z alinhados ao longo de z, a sobreposição é grande — por isso a formação de um forte orbital \sigma.

Passo 7

Como desenhar isso rápido numa prova (passo a passo prático):
  1. Desenhe dois núcleos separados no eixo z (marque A e B).
  2. Em cada núcleo desenhe um orbital p_z: dois lóbulos ao longo do eixo, um apontando para o outro.
  3. Para o ligante: pinte os dois lóbulos próximos com a mesma cor/sinal (ex.: ambos positivos); ligue-os formando uma região contínua entre núcleos (sem nó).
  4. Para o antiligante: pinte os lóbulos próximos com cores/sinais opostos; deixe um plano perpendicular ao eixo no meio onde a função muda de sinal — marque explicitamente o nó.
  5. Rotule: \sigma_{2p} para ligante e \sigma_{2p}^* para antiligante, e escreva as formulações \psi=N(\phi_{pz,A}\pm\phi_{pz,B}).

Passo 8

Resumo físico curto (motivação intuitiva):
  • Ligante: soma → mais elétrons entre núcleos → atração nuclear reforçada → estabiliza.
  • Antiligante: diferença → elétrons evitam a região entre núcleos → não estabiliza, até desestabiliza se ocupado.

Resposta

Ligante: \sigma_{2p} formada por \displaystyle \psi_{\text{ligante}} = N\big(\phi_{pz,A} + \phi_{pz,B}\big); lobos com mesmas fases se sobrepõem entre os núcleos, sem nó entre núcleos, densidade eletrônica aumentada entre núcleos, energia menor que a dos orbitais atômicos. \nAntiligante: \sigma_{2p}^* formada por \displaystyle \psi_{\text{antiligante}} = N\big(\phi_{pz,A} - \phi_{pz,B}\big); lobos com fases opostas geram um nó (plano nodal) perpendicular ao eixo z entre os núcleos, densidade reduzida entre núcleos, energia maior.

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