Desenhe as projeções da curva r(t)=lang<= t, t, t^2rang<= nos três planos coordenados. Use-as para ajudá-lo a esboçar a curva.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em R^3
r(t)=llang<= t,;t,;t^2rrang<=
e pede as projeções dessa curva nos três planos coordenados (xy, xz e yz) para depois esboçar a própria curva. Vamos usar a ideia de que, ao projetar no plano em que uma das coordenadas vale zero, basta anular essa coordenada na parametrização original.

Passo 2

Projeção no plano xy (isto é, em z=0): basta colocar z=0 em r(t). Obtemos
rxy(t)=lang<= t,;t,;0rang<=
Isso corresponde à reta no plano xy cuja equação cartesiana é
y = x

Passo 3

Projeção no plano xz (isto é, em y=0): basta colocar y=0. Obtemos
rxz(t)=lang<= t,;0,;t^2rang<=
No plano xz isso é a parábola dada por
z = x^2

Passo 4

Projeção no plano yz (isto é, em x=0): basta colocar x=0. Obtemos
ryz(t)=lang<= 0,;t,;t^2rang<=
No plano yz temos a parábola
z = y^2

Passo 5

Para esboçar a curva em 3D, note que de todas as projeções:
  • no plano xy ela está sobre a reta y=x;
  • no plano xz ela segue a parábola z=x^2;
  • no plano yz ela segue a parábola z=y^2.
Como x=y ao longo da curva, ela está contida no plano inclinado y=x e, dentro desse plano, é exatamente a parábola z=x^2. Assim, o esboço em 3D é uma parábola que abre para cima, contida no plano y=x.

Resposta

– Projeção em xy: reta y=x.
– Projeção em xz: parábola z=x^2.
– Projeção em yz: parábola z=y^2.
A curva completa é a parábola z=x^2 no plano y=x.

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