Seja S a superfície exterior do paraboloide
, onde
. Determinar
, sendo
o campo vetorial
.
Passo 1
Nesse exercício a gente tem a superfície S que é o lado de fora do paraboloide dado por
, com
variando no disco
. O assunto envolvido é integral de fluxo de campo vetorial e vamos usar o teorema da divergência e cálculo de volume em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, calculamos a divergência do campo
. A divergência é
.
Passo 3
A região V é o sólido limitado abaixo pelo plano
e acima pelo paraboloide
. Em coordenadas polares,
,
, com
e
, o elemento de volume é
.
Passo 4
Para achar o volume, integramos
de
até
e depois em
. Primeiro fazemos a integral em
, que dá
, então temos o volume:
Passo 5
Passo 6
Resolvendo a integral de
:
Passo 7
Passo 8
logo
.
Passo 9
Pelo teorema da divergência, o fluxo pela superfície fechada (paraboloide mais base) é
.
Passo 10
O fluxo através da base em
usa normal para baixo
e
, então
. Assim, o fluxo só pelo paraboloide é
.