Seja S a superfície exterior do paraboloide
r(x, y)=(x, y, 9-x^2-y^2),(x, y) in R subset R^2, onde R=(x, y) / x^2+y^2 <= 9. Determinar
integral duplaS F cdot n d S, sendo F o campo vetorial
F=(3 x, 3 y, z).

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a superfície S que é o lado de fora do paraboloide dado por r(x,y)=(x,y,9-x^2-y^2), com (x,y) variando no disco x^2+y^2<=9. O assunto envolvido é integral de fluxo de campo vetorial e vamos usar o teorema da divergência e cálculo de volume em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, calculamos a divergência do campo F=(3x,3y,z). A divergência é nablacdotF=partialpartial x(3x)+partialpartial y(3y)+partialpartial z(z)=3+3+1=7.

Passo 3

A região V é o sólido limitado abaixo pelo plano z=0 e acima pelo paraboloide z=9-x^2-y^2. Em coordenadas polares, x=rcostheta, y=rsintheta, com 0<= r<=3 e 0<=theta<=2pi, o elemento de volume é dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 4

Para achar o volume, integramos z de 0 até 9-r^2 e depois em r,theta. Primeiro fazemos a integral em z, que dá 9-r^2, então temos o volume:

Passo 5

V=integral0^2piintegral0^3(9-r^2)r,dr,dtheta

Passo 6

Resolvendo a integral de r:

Passo 7

integral0^3(9r-r^3),dr=l(9r^22-r^44r)0^3=812-814=814,

Passo 8

logo V=2picdot814=81pi2.

Passo 9

Pelo teorema da divergência, o fluxo pela superfície fechada (paraboloide mais base) é integral triplaV(nablacdotF),dV=7cdot81pi2=567pi2.

Passo 10

O fluxo através da base em z=0 usa normal para baixo (0,0,-1) e F(x,y,0)=(3x,3y,0), então Fcdotn=0. Assim, o fluxo só pelo paraboloide é 567pi2.

Resposta

567pi2

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