Questão 3.
(
) Resolva a equação diferencial abaixo:
(
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Este tipo de equação não é exata, mas é homogênea (todos os termos de grau 2). Vamos usar a substituição clássica para eqs. homogêneas.
Passo 2
Verificamos que a equação é homogênea porque as funções
e
são ambas de grau 2. Então fazemos a substituição
, o que implica
Passo 3
Substituindo
e
na eq.:
Simplificando aparece
Passo 4
Agora separamos variáveis. Dividindo tudo por
obtemos
o que leva a
Passo 5
Integramos os dois lados. Fazendo frações parciais em
:
Logo
Passo 6
Voltando a
e reunindo os logaritmos, temos a solução implícita
Passo 7
Essa expressão é a forma mais simples da solução geral, mas podemos também escrever
que equivale a
x^4yy+2x = C1 .