Questão 3.
( 2,5 pt ) Resolva a equação diferencial abaixo:
(2 y^2+3 y x) d x+x^2 d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(2y^2+3yx),dx + x^2,dy = 0
Este tipo de equação não é exata, mas é homogênea (todos os termos de grau 2). Vamos usar a substituição clássica para eqs. homogêneas.

Passo 2

Verificamos que a equação é homogênea porque as funções
M(x,y)=2y^2+3yx e N(x,y)=x^2 são ambas de grau 2. Então fazemos a substituição y=vx, o que implica
dy = v,dx + x,dv

Passo 3

Substituindo y=vx e dy=v,dx + x,dv na eq.:
(2(vx)^2 +3(vx)x),dx + x^2l(v,dx + x,dvr)=0
Simplificando aparece
x^2l(2v^2+4vr)dx + x^3,dv = 0

Passo 4

Agora separamos variáveis. Dividindo tudo por x^3 obtemos
2v(v+2)x,dx + dv = 0
o que leva a
dv + 2v(v+2)x,dx = 0 Longrightarrow dvv(v+2) = -2dxx

Passo 5

Integramos os dois lados. Fazendo frações parciais em 1/[v(v+2)]:
1v(v+2) = 12l(1v - 1v+2r)
Logo
integraldvv(v+2) = 12ln|v| - 12ln|v+2| = -2ln|x| + C

Passo 6

Voltando a v = y/x e reunindo os logaritmos, temos a solução implícita
lnl|yy+2xr| + 4ln|x| = C

Passo 7

Essa expressão é a forma mais simples da solução geral, mas podemos também escrever
lnl|x^4yy+2xr| = C
que equivale a
x^4yy+2x = C1 .

Resposta

lnl|tfracyy+2xr| + 4ln|x| = C, ou equivalently x^4yy+2x=constante.

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