Questão 2.
3
( 2,5 pt ) Resolva a equação diferencial abaixo:
(x^2+y e^x) d x+(e^x+y^3+ln (y)) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
(x^2+y e^x),dx+(e^x+y^3+ ln(y)),dy=0
O conteúdo é equação diferencial exata: vamos verificar exatidão e, depois, achar a função potencial que gera essa diferencial.

Passo 2

Uma equação M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 é exata se
partial Mpartial y=partial Npartial x
Aqui
M(x,y)=x^2+y e^x, N(x,y)=e^x+y^3+ln(y)
Calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y=e^x, partial Npartial x=e^x
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para encontrar a função potencial psi(x,y) satisfazendo
partial psipartial x=M(x,y)=x^2+y e^x,
integramos em relação a x:
psi(x,y)=integral(x^2+y e^x),dx=x^33+y e^x+C(y),
onde C(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos
partial psipartial y=e^x+C'(y)
e igualamos a N(x,y)=e^x+y^3+ln(y). Assim
C'(y)=y^3+ln(y)
Integrando em y:
C(y)=integral(y^3+ln(y)),dy=y^44+yln(y)-y

Passo 5

Substituindo C(y) na expressão de psi, obtemos a função potencial completa:
psi(x,y)=x^33+y e^x+y^44+yln(y)-y
Logo, a solução geral da EDO é dada implicitamente por psi(x,y)=constante.

Resposta

x^33+y e^x+y^44+yln(y)-y=C

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