Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.
O paraboloide
e o cilindro
cilindro circular
O paraboloide
cilindro circular
Passo 1
O enunciado pede a curva de interseção entre o paraboloide
e o cilindro circular
O conteúdo é parametrização de curvas em espaço. Vamos usar a equação do cilindro para definir duas coordenadas em termos de um parâmetro
e depois impor a equação do paraboloide para achar a terceira coordenada.
Passo 2
Parametrizamos o cilindro por
onde
é um parâmetro real. Assim
está garantido.
Passo 3
Substituímos essa parametrização na equação do paraboloide
Portanto
Passo 4
Para que
seja real precisamos
Usando
obtemos a inequação em
:
cuja raiz positiva é
Logo
, i.e.\
Passo 5
Com isso, a função vetorial da curva de interseção (duas folhas, para
e
) é
com
e
.
e