Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies.
O paraboloide z=4 x^2+y^2 e o cilindro
cilindro circular x^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede a curva de interseção entre o paraboloide
z = 4x^2 + y^2
e o cilindro circular
x^2 + z^2 = 1
O conteúdo é parametrização de curvas em espaço. Vamos usar a equação do cilindro para definir duas coordenadas em termos de um parâmetro theta e depois impor a equação do paraboloide para achar a terceira coordenada.

Passo 2

Parametrizamos o cilindro por
x = costheta, z = sintheta,
onde theta é um parâmetro real. Assim x^2+z^2= cos^2theta+sin^2theta=1 está garantido.

Passo 3

Substituímos essa parametrização na equação do paraboloide
z = 4x^2 + y^2 ;Longrightarrow; sintheta = 4cos^2theta + y^2 ;Longrightarrow; y^2 = sintheta -4cos^2theta
Portanto
y = pmraizsintheta -4cos^2theta

Passo 4

Para que y seja real precisamos
sintheta - 4cos^2theta >= 0
Usando cos^2theta = 1 - sin^2theta obtemos a inequação em s = sintheta:
4s^2 + s - 4 >= 0,
cuja raiz positiva é
s0 = -1 + raiz658 approx 0,88275
Logo sintheta >= s0, i.e.\
theta in [theta0, , pi - theta0], theta0 = arcsinl(tfrac-1 + raiz658r)

Passo 5

Com isso, a função vetorial da curva de interseção (duas folhas, para y>0 e y<0) é
r(theta) = gllang<= costheta,; pmraizsintheta-4cos^2theta,; sintheta grrang<=,
com
theta0<=theta<=pi-theta0
e
theta0=arcsinl(tfrac-1+raiz658r).

Resposta

r(theta) = llang<= costheta,; pmraizsintheta-4cos^2theta,; sintheta rrang<=, thetainl[arcsin!tfrac-1+raiz658,,pi-arcsin!tfrac-1+raiz658r]

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