desenhe a região A e calcule sua área: A é o conjunto do plano limitado pelas retas x=0, x=pi, y=0 e pelo gráfico de y=cos x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos desenhar a região A no plano que é limitada pelas retas , , e pelo gráfico de . Depois, vamos calcular a área dessa região. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função no intervalo de a . Sabemos que:
  • Em ,
  • Em ,
O gráfico da função nesse intervalo começa em 1, desce até -1 passando pelo ponto , onde .

Passo 3

As retas que delimitam a região são:
  • (eixo y)
  • (eixo x)
Então, a região A está entre e , acima do eixo x e abaixo do gráfico de .

Passo 4

Para calcular a área dessa região, vamos usar uma integral definida da função A = integral0^pi cos x , dx no intervalo de a . A fórmula para a área é:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral cos x , dx = sin x + C
Aplicando os limites de integração:
A = [ sin x ]0^pi = sin pi - sin 0 = 0 - 0 = 0

Passo 6

O resultado foi zero, mas isso ocorre porque a função A = integral0^pi |cos x| , dx é positiva no intervalo de integral0^pi |cos x| , dx = 2 a e negativa de a . Ao calcular a integral sem considerar o valor absoluto, as áreas positiva e negativa se cancelam.
Para obter a área total, precisamos considerar o valor absoluto da função:
Sabemos que:

Resposta

A área da região A é 2 unidades de área.

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