Sejam A, B e C conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade). A cup(B cap C)=(A cup B) cap(A cup C).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos , e , e queremos verificar se a igualdade é sempre verdadeira. O conteúdo aqui envolve operações com conjuntos, especificamente união ( ) e interseção ( ). Para resolver, vamos precisar aplicar as propriedades dessas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significam união e interseção:
  • União ( ): Elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.
  • Interseção ( ): Elementos que estão em todos os conjuntos envolvidos.

Passo 3

Para provar que duas expressões de conjuntos são iguais, geralmente mostramos que cada um é um subconjunto do outro. Ou seja, mostramos que:

Passo 4

Primeiro, vamos mostrar que :
  • Seja um elemento de . Isso quer dizer que está em ou em .
  • Se está em , então está tanto em quanto em , já que está em .
  • Se está em , então está em e em . Assim, estará em (porque está em ) e também em (porque está em ).
  • Portanto, em ambos os casos, está em .

Passo 5

Agora, vamos mostrar que :
  • Seja um elemento de . Isso significa que está em e em .
  • Se está em , então claramente está em .
  • Se não está em , então para que esteja em , ele deve estar em , e para estar em , deve estar em . Assim, está em .
  • Portanto, se não está em , ele deve estar em , garantindo que está em .

Resposta

A igualdade é verdadeira para quaisquer conjuntos , e .

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