Sejam
e
conjuntos. As proposições abaixo podem ser verdadeiras ou falsas. Se for verdadeira, prove-as. Caso sejam falsas apresente um contraexemplo (isto é, um exemplo que comprova sua falsidade).
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três conjuntos
,
e
, e queremos verificar se a igualdade
é sempre verdadeira. O conteúdo aqui envolve operações com conjuntos, especificamente união (
) e interseção (
). Para resolver, vamos precisar aplicar as propriedades dessas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significam união e interseção:
- União (
): Elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos. - Interseção (
): Elementos que estão em todos os conjuntos envolvidos.
Passo 3
Para provar que duas expressões de conjuntos são iguais, geralmente mostramos que cada um é um subconjunto do outro. Ou seja, mostramos que:
Passo 4
Primeiro, vamos mostrar que
:
- Seja
um elemento de . Isso quer dizer que está em ou em . - Se
está em , então está tanto em quanto em , já que está em . - Se
está em , então está em e em . Assim, estará em (porque está em ) e também em (porque está em ). - Portanto, em ambos os casos,
está em .
Passo 5
Agora, vamos mostrar que
:
- Seja
um elemento de . Isso significa que está em e em . - Se
está em , então claramente está em . - Se
não está em , então para que esteja em , ele deve estar em , e para estar em , deve estar em . Assim, está em . - Portanto, se
não está em , ele deve estar em , garantindo que está em .
Resposta
A igualdade
é verdadeira para quaisquer conjuntos
,
e
.