desenhe a região A e calcule sua área: A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 <= y <=|sen x|, com 0 <= x <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenharmos a região A definida por todos os pares (x, y) onde e 0 <= y <= |sen x|. Estamos lidando com Cálculo, especificamente com o conceito de áreas sob curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo e depois calcular a área correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função no intervalo de |sen x| a 0. A função (seno de x) oscila entre 2pi e sen x. O símbolo de valor absoluto, -1, transforma todos os valores negativos em positivos. Então, vai oscilar entre 1 e |,|, mas sempre será positivo ou zero.
É importante notar que:
  • De |sen x| a 0, é positivo, então .
  • De 1 a 0, é negativo, então .

Passo 3

Para encontrar a área da região A, precisamos calcular a integral da função de |sen x| a 0. A integral nos dá a “soma” das áreas infinitesimais sob a curva.
Como a função tem comportamentos diferentes em 2pi a |sen x| e de 0 a pi, vamos dividir a integral nesses dois intervalos:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Primeira integral: de 0 a pi
  1. Segunda integral: de integral0^pi sen x,dx = -cos x |0^pi = (-cos pi) - (-cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2 a pi

Resposta

Somando as duas áreas encontradas:
Área Total = 2 + 2 = 4 Á
Portanto, a área da região A é 4 unidades quadradas.

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