Determine a área da região entre a curva y=2 x /(1+x^2) e o intervalo -2 <= x <= 2 do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre a curva e o eixo , no intervalo de até . Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas. Primeiro, vamos entender onde a curva cruza o eixo , porque isso vai influenciar como a gente monta nossa integral.

Passo 2

Vamos descobrir onde a curva 2x1+x^2 = 0 cruza o eixo 2x = 0 implies x = 0 . Para isso, colocamos e resolvemos para :
Como uma fração é zero quando o numerador é zero, temos:
Então, a curva cruza o eixo apenas no ponto .

Passo 3

Agora, vamos ver se a função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se f(-x) = 2(-x)1+(-x)^2 = -2x1+x^2 = -2x1+x^2 = -f(x) e par se . Vamos testar:
Como , a função é ímpar. Isso significa que a área de a é igual em magnitude à área de a , mas com sinais opostos. Para encontrar a área total, a gente só precisa calcular uma das partes e dobrar o resultado.

Passo 4

Vamos calcular a área de A = 2 integral0^2 2x1+x^2 , dx a e depois multiplicar por 2. A área sob a curva é dada pela integral definida de de a :
Aqui, usamos a propriedade de que a função é ímpar para simplificar nosso cálculo.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral 2x1+x^2 , dx
Fazendo uma substituição simples, deixamos integral 1u , du = ln|u| + C = ln(1 + x^2) + C , assim integral0^2 2x1+x^2 , dx = ln(1 + 2^2) - ln(1 + 0^2) = ln(5) - ln(1) = ln(5) . Então, a integral fica:
A = 2 times ln(5) approx 2 times 1,6094 approx 3,2188
Agora, aplicando os limites de a :
Multiplicando por 2 para considerar a área de a :

Resposta

A área da região é aproximadamente unidades quadradas.

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