Determine a área da região entre a curva
e o intervalo
do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área entre a curva
e o eixo
, no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a calcular áreas sob curvas. Primeiro, vamos entender onde a curva cruza o eixo
, porque isso vai influenciar como a gente monta nossa integral.
Passo 2
Vamos descobrir onde a curva
cruza o eixo
. Para isso, colocamos
e resolvemos para
:
Como uma fração é zero quando o numerador é zero, temos:
Então, a curva cruza o eixo
apenas no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos ver se a função é ímpar ou par. Uma função é ímpar se
e par se
. Vamos testar:
Como
, a função é ímpar. Isso significa que a área de
a
é igual em magnitude à área de
a
, mas com sinais opostos. Para encontrar a área total, a gente só precisa calcular uma das partes e dobrar o resultado.
Passo 4
Vamos calcular a área de
a
e depois multiplicar por 2. A área sob a curva é dada pela integral definida de
de
a
:
Aqui, usamos a propriedade de que a função é ímpar para simplificar nosso cálculo.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição simples, deixamos
, assim
. Então, a integral fica:
Agora, aplicando os limites de
a
:
Multiplicando por 2 para considerar a área de
a
:
Resposta
A área da região é aproximadamente
unidades quadradas.