Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
y=e^x, y=x e^x, x=0

Passo 1

Beleza, você quer esboçar a região que é limitada pelas curvas , e , e descobrir qual é a área dessa região. Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente integração, para encontrar essa área. Além disso, vamos precisar entender como identificar os pontos onde essas curvas se encontram para definir os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada uma dessas curvas representa:
  • : Essa é a função exponencial, que cresce rapidamente à medida que aumenta.
  • : Essa é uma função que combina uma parte linear ( ) com a exponencial . Ela também cresce, mas um pouco de forma diferente.
  • : Essa é a reta vertical no eixo , também conhecida como eixo .

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos primeiro descobrir onde elas se intersectam. Vamos resolver a equação 1 = x para encontrar os pontos de interseção entre e .
Dividindo ambos os lados por (que nunca é zero), temos:
Então, . Isso significa que as duas curvas se encontram no ponto onde .

Passo 4

Agora sabemos que as curvas e se encontram em , e sabemos que também temos a reta como limite. Então, nossa região está entre e .

Passo 5

Vamos visualizar isso: Entre A = integrala^b [f(x) - g(x)] , dx e , a curva está acima da curva . Para encontrar a área entre elas, precisamos integrar a diferença entre essas funções nesse intervalo.
A fórmula para a área é:
onde é a função de cima e é a função de baixo. Neste caso, e , com e .

Passo 6

Vamos montar a integral:
A = integral0^1 (e^x - x e^x) , dx
Para resolver essa integral, podemos fatorar A = integral0^1 e^x (1 - x) , dx :

Passo 7

Agora, vamos integrar u = 1 - x Rightarrow du = -dx . Podemos usar a técnica de integração por partes, onde escolhemos:
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
integral e^x (1 - x) , dx = (1 - x) e^x - integral e^x (-1) , dx
Aplicando a fórmula de integração por partes ( = (1 - x) e^x + integral e^x , dx ):
= (1 - x) e^x + e^x + C
= (2 - x) e^x + C

Passo 8

Vamos agora calcular a integral definida de 0 a 1:
A = [ (2 - x) e^x ]0^1
= (2 - 1) e^1 - (2 - 0) e^0
= (1) e - (2) (1)
= e - 2

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas indicadas é unidades quadradas.

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