Desenhe a região de integração e determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície
e acima do triângulo de vértices
.
Abaixo da superfície
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima do triângulo do plano
com vértices
,
e
. O conteúdo é integração dupla para volume de sólidos e a gente vai precisar: desenhar a região
no plano
, achar as equações das arestas, montar os limites de integração e calcular (\iint_D xy,dA.
Passo 2
A região
é o triângulo com vértices
,
e
. As arestas são: de
a
(reta horizontal
), de
a
(reta vertical
) e de
a
. A reta que passa por
e
satisfaz
Passo 3
Podemos então descrever
assim:
– varia de
até
.
– Para cada ,
varia de
até
.
Logo o volume é dado por
–
– Para cada
Logo o volume é dado por
Passo 4
Primeiro, integramos em
:
Passo 5
Agora o volume fica
Passo 6
Integramos em
:
Passo 7
Avalia em
e
:
Passo 8
Multiplicando por
vem