Desenhe a região de integração e determine o volume do sólido dado.
Abaixo da superfície z=x y e acima do triângulo de vértices (1,1),(4,1) e(1,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume do sólido que fica abaixo da superfície z = xy e acima do triângulo do plano xy com vértices (1,1), (4,1) e (1,2). O conteúdo é integração dupla para volume de sólidos e a gente vai precisar: desenhar a região D no plano xy, achar as equações das arestas, montar os limites de integração e calcular (\iint_D xy,dA.

Passo 2

A região D é o triângulo com vértices (1,1), (4,1) e (1,2). As arestas são: de (1,1) a (4,1) (reta horizontal y=1), de (1,1) a (1,2) (reta vertical x=1) e de (4,1) a (1,2). A reta que passa por (4,1) e (1,2) satisfaz
y-1 = 2-11-4(x-4) ;Longrightarrow; y = 7 - x3

Passo 3

Podemos então descrever D assim:
y varia de 1 até 2.
– Para cada y, x varia de 1 até x = 7 - 3y.
Logo o volume é dado por
V = integral duplaD xy,dA = integraly=1^2 integralx=1^7-3y x,y ,dx,dy

Passo 4

Primeiro, integramos em x:
integralx=1^7-3y x,y ,dx = y integral1^7-3y x,dx = y [ x^22 ]1^7-3y = y2l((7-3y)^2 - 1r)

Passo 5

Agora o volume fica
V = 12 integral1^2 yl((7-3y)^2 - 1r) dy = 12 integral1^2 (48y - 42y^2 + 9y^3),dy

Passo 6

Integramos em y:
integral (48y - 42y^2 + 9y^3) dy = 24y^2 - 14y^3 + 94y^4

Passo 7

Avalia em y=1 e y=2:
l[24y^2 - 14y^3 + tfrac94y^4r]1^2 = (96 - 112 + 36) - (24 - 14 + 2,25) = 20 - 12,25 = 7,75

Passo 8

Multiplicando por tfrac12 vem
V = tfrac12 times 7,75 = 3,875 = 318

Resposta

318

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