Determine o volume do sólido que está abaixo da superfície 2 y-x^2+z=5 e do triângulo com vértices (0,0),(2,0) e (2,4).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
2,y - x^2 + z = 5
e acima do triângulo T no plano xy com vértices (0,0), (2,0) e (2,4).
Conteúdo: calcular volume usando integral dupla em coordenadas cartesianas. Vamos escrever z isolado e determinar os limites de T.

Passo 2

Isolando z na equação da superfície temos
z = 5 ;-; 2,y ;+; x^2
O triângulo T tem vértices (0,0), (2,0) e (2,4). A reta que liga (0,0) a (2,4) é y = 2x. Logo, em coordenadas cartesianas:
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2x

Passo 3

O volume é dado por
V = integral duplaT z ,dA = integralx=0^2!integraly=0^2x l(5 ;-; 2y ;+; x^2r),dy,dx

Passo 4

Primeiro, integramos em y:
integral0^2x l(5 + x^2 - 2yr),dy = (5 + x^2),(2x);-;2;(2x)^22 = 2x,(5 + x^2) ;-; 4x^2 = 10x ;-;4x^2 ;+;2x^3

Passo 5

Agora, integramos em x:
V = integral0^2 l(10x - 4x^2 + 2x^3r),dx = l[5x^2 - tfrac43x^3 + tfrac12x^4r]0^2 = 28 - tfrac323 = tfrac523

Resposta

523

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