Desenhe a região de intgração no plano x y e calcule a integral iterada integral0^4 integral0^y raiz9+y^2 d x d y. (Resp. 98/3.)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região
R = (x,y)mid 0 <= y <= 4,;0 <= x <= y
no plano xy e calcular a integral iterada
integral0^4integral0^yraiz9+y^2;dx,dy
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas cartesianas, onde a integral interna em x pode ser feita diretamente, pois o integrando não depende de x.

Passo 2

A região R é formada pelos pontos com y variando de 0 até 4 e, para cada y, x variando de 0 até x=y. Gráficamente é o triângulo com vértices (0,0), (0,4) e (4,4), limitado pelos eixos x=0, y=0 e pela reta x=y.

Passo 3

Escrevendo a integral explícita:
integral duplaRraiz9+y^2;dA =integraly=0^4l(integralx=0^yraiz9+y^2;dxr)dy

Passo 4

Como raiz9+y^2 é constante em relação a x, a integral interna é
integral0^yraiz9+y^2;dx =raiz9+y^2;l[xr]0^y =y,raiz9+y^2

Passo 5

Substituindo na integral externa, obtemos
integral0^4y,raiz9+y^2;dy
Fazendo a substituição t=9+y^2, teremos dt=2y,dy, ou seja y,dy=tfracdt2. Quando y=0, t=9; quando y=4, t=25. Logo,
integral0^4yraiz9+y^2,dy =12integralt=9^25t^1/2,dt =12cdot23t^3/2|9^25 =13l(25^3/2-9^3/2r) =13(125-27) =983

Resposta

983.

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