Resolva os PVIs:
2 y^prime prime+2 y^prime+y=t^2, y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
2y'' + 2y' + y = t^2, y(0)=0, y'(0)=0
O conteúdo usado é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar a solução geral como soma da solução homogênea e de uma solução particular, depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos
2y'' + 2y' + y = 0
e montamos a equação característica
2r^2 + 2r + 1 = 0
Suas raízes são
r = -2 pm raiz4 - 84 = -tfrac12 pm tfraci2
Logo a solução homogênea é
yh(t) = e^-t/2l(C1cos(tfract2) + C2sin(tfract2)r)

Passo 3

Para a parte particular, tentamos
yp(t) = At^2 + Bt + C
Calculamos
yp' = 2At + B, yp'' = 2A
e substituímos em 2y'' + 2y' + y = t^2:
2(2A) + 2(2At + B) + (At^2 + Bt + C) = t^2
Isso gera
A t^2 + (4A + B) t + (4A + 2B + C) = t^2
Igualando coeficientes vem
A = 1, 4A + B = 0, 4A + 2B + C = 0,
resultando em A=1, B=-4, C=4. Assim
yp(t) = t^2 - 4t + 4

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(t) = yh(t) + yp(t) = e^-t/2l(C1cos(tfract2) + C2sin(tfract2)r) + t^2 - 4t + 4

Passo 5

Aplicando y(0)=0, temos
y(0) = C1 + 4 = 0
logo
C1 = -4

Passo 6

Agora calculamos y'(t). Para a parte homogênea, em t=0 obtém-se
yh'(0) = C2 - C12
Para a parte particular yp'(t)=2t-4, logo yp'(0)=-4. Somando,
y'(0) = C2 - C12 - 4 = 0
Como C1=-4, segue
C2 + 42 - 4 = 0 Longrightarrow C2 = 4

Resposta

boxedy(t) = e^-t/2l(-4cos(tfract2) + 4sin(tfract2)r) + t^2 - 4t + 4

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