Exercício 1. Mostre utilizando a definição em termos de
os limites abaixo.
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando a definição formal de limite (ε,δ), que
\lim_{x\to 2} x² = 4.
O conteúdo é “definição de limite de função” e o que vamos precisar é:
\lim_{x\to 2} x² = 4.
O conteúdo é “definição de limite de função” e o que vamos precisar é:
- saber o que significa “para todo ε>0 existe δ>0 tal que …”
- manipular desigualdades para relacionar |x–2| com |x²–4|
Passo 2
Relembrando a definição formal de limite:
\lim_{x\to a} f(x) = L significa que, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que 0<|x–a|<δ, a gente tem |f(x)–L|<ε.
Aqui a = 2, f(x) = x² e L = 4.
\lim_{x\to a} f(x) = L significa que, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, sempre que 0<|x–a|<δ, a gente tem |f(x)–L|<ε.
Aqui a = 2, f(x) = x² e L = 4.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
|f(x)–L| = |x² – 4|.
Para fatorar isso, note que x² – 4 = (x–2)(x+2).
Logo
|x²–4| = |x–2|·|x+2|.
|f(x)–L| = |x² – 4|.
Para fatorar isso, note que x² – 4 = (x–2)(x+2).
Logo
|x²–4| = |x–2|·|x+2|.
Passo 4
O problema é que |x+2| depende de x e a gente só controla |x–2|.
Então vamos “prender” x perto de 2, exigindo δ≤1. Se |x–2|<1, então
–1 < x–2 < 1 ⇒ 1 < x < 3 ⇒
x+2 está entre 3 e 5 ⇒ |x+2| < 5.
Assim, sempre que |x–2|<δ≤1, a gente garante |x+2|<5 e então
|x²–4| = |x–2|·|x+2| < |x–2|·5 = 5·|x–2|.
Então vamos “prender” x perto de 2, exigindo δ≤1. Se |x–2|<1, então
–1 < x–2 < 1 ⇒ 1 < x < 3 ⇒
x+2 está entre 3 e 5 ⇒ |x+2| < 5.
Assim, sempre que |x–2|<δ≤1, a gente garante |x+2|<5 e então
|x²–4| = |x–2|·|x+2| < |x–2|·5 = 5·|x–2|.
Passo 5
Queremos |x²–4| < ε. Pelo que acabamos de ver, basta ter
5·|x–2| < ε ⇔ |x–2| < ε/5.
Para cumprir também a restrição δ≤1, escolhemos
δ = min{1,;ε/5}.
Então, sempre que 0<|x–2|<δ, garantimos |x²–4|<ε.
5·|x–2| < ε ⇔ |x–2| < ε/5.
Para cumprir também a restrição δ≤1, escolhemos
δ = min{1,;ε/5}.
Então, sempre que 0<|x–2|<δ, garantimos |x²–4|<ε.
Resposta
Para todo ε>0, tomando δ = min{1, ε/5}, se 0<|x–2|<δ então |x²–4|<ε. Portanto
\lim_{x\to 2} x² = 4.
\lim_{x\to 2} x² = 4.