Exercício 3 Encontre a soluçio geral da EDO
2 d yd x=2 y-4
Depois resolva o PVI formado por essa EDO acrescida da condicão inicial y(0)=4,

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem 2 dy/dx = 2 y – 4 e depois impor a condição inicial y(0)=4. O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, que aqui tratamos pelo método de separação de variáveis (ou forma padrão linear).

Passo 2

Primeiro, simplifico a equação dividindo tudo por 2 para colocá-la em forma padrão.
dydx = y - 2

Passo 3

Agora separo as variáveis y e x, escrevendo a parte em y de um lado e a parte em x do outro.
dyy-2 = dx

Passo 4

Integro ambos os lados:
integral dyy-2 = integral dx Longrightarrow ln|y-2| = x + C, onde C é a constante de integração.

Passo 5

Faço a exponenciação para isolar y:
|y-2| = e^x+C = e^C e^x Posso absorver o sinal e e^C numa única constante genérica K, obtendo a solução geral:
y(x) = 2 + K e^x

Passo 6

Por fim, imponho a condição inicial y(0)=4 para determinar K. Substituindo x=0 e y=4:
4 = 2 + K e^0 Longrightarrow K = 2

Passo 7

Assim a solução particular do problema de valor inicial é
y(x) = 2 + 2e^x

Resposta

Solução geral: y(x)=2+K e^x.
Solução particular com y(0)=4: y(x)=2+2e^x.

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