Seja C a curva parametrizada por
gamma(t)=(cos t, sen t, t)
Determine a equaçâo da reta tangente à curva C no ponto (-1,0, pi).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva parametrizada por gamma(t)=(cos t,sen t,t) no ponto (-1,0,pi). Isso é um problema de reta tangente a curva no espaço; vamos precisar achar o parâmetro correspondente ao ponto e a derivada gamma'(t).

Passo 2

Para achar o parâmetro t0 em que gamma(t0)=(-1,0,pi), impomos as componentes:
cos t0=-1, sen t0=0 e t0=pi. A solução mais simples é t0=pi.

Passo 3

Calculamos a derivada da parametrização:
gamma'(t)=(-sen t,cos t,1)
Avaliando em t0=pi
gamma'(pi)=(-senpi,cospi,1)=(0,-1,1)

Passo 4

A reta tangente tem ponto base P0=(-1,0,pi) e vetor direção v=(0,-1,1). Assim, em forma paramétrica:
r(s)=(-1,0,pi)+s,(0,-1,1)
Ou seja,
x=-1,
y=-s,
z=pi+s

Resposta

Equação paramétrica da reta tangente: (x,y,z)=(-1,0,pi)+s,(0,-1,1), ou equivalentemente
x=-1,
y=-s,
z=\pi+s.

Exercícios relacionados