Desenhe os seguintes conjuntos:
.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto A em R^3 definido por z^2 = x^2 + y^2 + 1. O conteúdo aqui é o estudo de superfícies quádricas e vamos precisar reconhecer e classificar essa equação como um tipo de hiperboloide.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos z^2 - x^2 - y^2 = 1. Essa forma padrão mostra que estamos diante de um hiperboloide de duas folhas, pois o sinal de z^2 é positivo e os de x^2 e y^2 são negativos.

Passo 3

Para entender o formato, analisamos as seções horizontais. Fixando z = k, a equação vira:
x^2 + y^2 = k^2 - 1
Se |k| < 1, não há solução real (raio imaginário). Se |k| >= 1, temos um círculo de raio raizk^2 - 1. Isso mostra que existem duas “folhas”: uma para z >= 1 e outra para z <= -1.

Passo 4

Em um esboço, desenhe dois conjuntos de círculos concêntricos: um partindo de z=1 para cima com raios crescentes e outro partindo de z=-1 para baixo também com raios crescentes. O resultado é um hiperboloide de duas folhas, simétrico em relação ao plano z=0.

Resposta

O conjunto A é um hiperboloide de duas folhas descrito por z^2 - x^2 - y^2 = 1, com duas “taças” simétricas em z>=1 e em z<=-1, cujas seções horizontais são círculos de raio raizz^2-1.

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