Questão 5: (Retirada do livro: Munem, M. A; Foulis, D. J. Cálculo (capítulo 2))
Um triângulo equilátero feito de uma folha de metal é expandido pois foi aquecido.
Sua área A é dada por A=(raiz3 / 4) x^2 centímetros quadrados, onde x é o comprimento de um lado em centímetros. Calcule a taxa de variação instantânea de A em relação a x no instante em que x=10 centímetros.

Passo 1

O exercício nos dá a área de um triângulo equilátero em função do lado: temos um triângulo de metal cuja área é dada por A(x)=raiztfrac34,x^2. O conteúdo é derivada de funções polinomiais multiplicadas por constantes, e vamos usar a regra do poder e o fato de que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 2

Escrevendo explicitamente e aplicando a regra do poder, temos:
A(x)=raiztfrac34;x^2
Logo,
dAdx=raiztfrac34cdotddx(x^2)=raiztfrac34cdot2x

Passo 3

Agora simplificamos o coeficiente:
raiztfrac34=raiz32,então2cdotraiz32=raiz3 ã
Logo
dAdx=raiz3,x

Passo 4

Finalmente, avaliamos em x=10 centímetros:
dAdx|x=10=raiz3times10=10raiz3
Isso indica a taxa de variação instantânea da área quando o lado mede 10 cm.

Resposta

A taxa de variação instantânea é 10raiz3,cm^2/cm.

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