Desenhe seis vetores (escolha os pontos) dos campos de vetores abaixo:
F(x, y)=(x, y).

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe seis vetores do campo de vetores dado por F(x,y)=(x,y). Informação disponível e o que é pedido:
  • A expressão do campo de vetores é F(x,y)=(x,y).
  • Deve-se escolher seis pontos no plano e desenhar, em cada ponto escolhido, o vetor igual a F naquele ponto.
  • Não há restrição sobre quais pontos escolher; convém escolher pontos simples e simétricos para entender o campo.

Passo 2

O que significa desenhar o vetor do campo em um ponto (x,y).
  • Num campo vetorial cada ponto (x,y) tem associado um vetor F(x,y). Aqui esse vetor é exatamente (x,y).
  • Ao desenhar, colocam-se as “caudas” (tails) dos vetores no próprio ponto (x,y). A “cabeça” (head) do vetor fica no ponto (x,y)+F(x,y)=(x,y)+(x,y)=(2x,2y).
  • Portanto, o vetor em (x,y) é a seta que vai de (x,y) até (2x,2y).

Passo 3

Fórmulas úteis que vou usar (explicadas de forma bem simples).
  • Componente do vetor: F(x,y)=(x,y). Isso significa que a componente horizontal é x e a vertical é y.
  • Magnitude do vetor: \|F(x,y)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Isso é o comprimento do vetor.
  • Direção do vetor: o vetor aponta na direção radial a partir da origem; o ângulo em relação ao eixo x é \theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) (tomando cuidado com o quadrante).

Passo 4

Escolha dos seis pontos (escolhi pontos simples e simétricos para facilitar o desenho e mostrar o padrão do campo):
  • (0,0)
  • (1,0)
  • (0,1)
  • (-1,0)
  • (0,-1)
  • (1,1)
Motivo: pontos com coordenadas inteiras pequenas são fáceis de desenhar; a combinação inclui origem, pontos nos eixos e um ponto na direção (1,1) para variar a direção.

Passo 5

Calcular os vetores em cada ponto e as coordenadas da cabeça (passo a passo, para você poder reproduzir no papel).
  • Em (0,0):
    • F(0,0)=(0,0).
    • Cabeça: (0,0)+(0,0)=(0,0).
    • Magnitude: \|F(0,0)\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0.
    • Interpretação: vetor nulo (apenas um ponto; nada para desenhar como seta).
  • Em (1,0):
    • F(1,0)=(1,0).
    • Cabeça: (1,0)+(1,0)=(2,0).
    • Magnitude: \|F(1,0)\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=1.
    • Interpretação: seta de comprimento 1 apontando para a direita, com cauda em (1,0) e cabeça em (2,0).
  • Em (0,1):
    • F(0,1)=(0,1).
    • Cabeça: (0,1)+(0,1)=(0,2).
    • Magnitude: \|F(0,1)\|=1.
    • Interpretação: seta para cima, cauda em (0,1), cabeça em (0,2).
  • Em (-1,0):
    • F(-1,0)=(-1,0).
    • Cabeça: (-1,0)+(-1,0)=(-2,0).
    • Magnitude: \|F(-1,0)\|=1.
    • Interpretação: seta para a esquerda, cauda em (-1,0), cabeça em (-2,0).
  • Em (0,-1):
    • F(0,-1)=(0,-1).
    • Cabeça: (0,-1)+(0,-1)=(0,-2).
    • Magnitude: \|F(0,-1)\|=1.
    • Interpretação: seta para baixo, cauda em (0,-1), cabeça em (0,-2).
  • Em (1,1):
    • F(1,1)=(1,1).
    • Cabeça: (1,1)+(1,1)=(2,2).
    • Magnitude: \|F(1,1)\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
    • Interpretação: seta na direção nordeste, cauda em (1,1), cabeça em (2,2). O comprimento é \sqrt{2}, maior que 1.

Passo 6

Como desenhar isso passo a passo no papel (sem calculadora, só régua e lápis):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque uma escala igual nos dois eixos (por exemplo 1 cm por unidade).
  2. Marque os pontos escolhidos: (0,0),(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,1).
  3. Para cada ponto (x,y) desenhe uma seta cuja cauda fica em (x,y) e cuja cabeça fica em (2x,2y). Ou seja, desenhe a seta até o ponto que fica “ao dobro” do vetor posição.
    • Exemplos práticos: em (1,0) desenhe uma seta de (1,0) até (2,0); em (1,1) desenhe de (1,1) até (2,2).
  4. Para o vetor nulo em (0,0) coloque um ponto ou um pequeno círculo no lugar — isso indica que ali o vetor tem comprimento zero.
  5. Se as setas ficarem grandes e atrapalharem a leitura, use um fator de escala s (por exemplo s=\tfrac{1}{2}) e desenhe a cabeça em (x,y)+s\cdot F(x,y)=(x(1+s),y(1+s)). Isso reduz as setas, mantendo direções corretas.

Passo 7

Interpretação geral (para aprender para a prova):
  • O campo F(x,y)=(x,y) é radial: em qualquer ponto o vetor aponta para fora (na direção do próprio ponto em relação à origem).
  • O comprimento do vetor cresce com a distância até a origem: \|F(x,y)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Isso significa que, desenhando vários vetores, verá setas que saem do centro apontando para fora e ficando maiores quanto mais longe do centro.

Resposta

(0,0):\;F(0,0)=(0,0)
(1,0):\;F(1,0)=(1,0)
(0,1):\;F(0,1)=(0,1)
(-1,0):\;F(-1,0)=(-1,0)
(0,-1):\;F(0,-1)=(0,-1)
(1,1):\;F(1,1)=(1,1)

Exercícios relacionados