Nos problemas 1-14, resolva o problema de valor inicial dado usando o método de transformadas de Laplace.
y^prime prime-y^prime-2 y=-8 cos t-2 sen t;
y(pi / 2)=1, y^prime(pi / 2)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y''-y'-2y=-8cos t -2sin t, yl(tfracpi2r)=1,;y'l(tfracpi2r)=0,
usando transformada de Laplace. O conteúdo é ODE linear de segunda ordem com termo forçante composto por cos t e sin t e condições iniciais em t0=pi/2. Para usar Laplace com condições em zero, vamos fazer a mudança de variável que desloca o instante inicial para 0.

Passo 2

Defina
u = t - pi2, z(u) = yl(u+tfracpi2r)
Então z(0)=y(pi/2)=1 e z'(0)=y'(pi/2)=0.
No lado direito,
cos t = cosl(u+tfracpi2r) = -sin u, sin t = sinl(u+tfracpi2r) = cos u
Substituindo na ODE original, obtemos
z''(u) - z'(u) - 2,z(u) = -8l(-sin ur) -2l(cos ur) = 8sin u -2cos u

Passo 3

Agora aplicamos transformada de Laplace em u. Seja Z(s)= Lz(u).
Lz''=s^2Z - s,z(0)-z'(0)=s^2Z - s, Lz'=sZ - z(0)=sZ -1
Logo,
l(s^2Z - sr) -l(sZ -1r) -2Z = 8s^2+1 - 2ss^2+1
Isso dá
Z,(s^2 - s -2);-;(s-1) = 8-2ss^2+1,
Z(s) = (s-1)+dfrac8-2ss^2+1(s-2)(s+1) = s^3 - s^2 - s +7(s^2+1)(s-2)(s+1)

Passo 4

Fazemos frações parciais:
Z(s)=As-2+Bs+1+Cs+Ds^2+1
Resolvendo o sistema resultante encontra-se
A=35, B=-1, C=75, D=-115

Passo 5

Invertendo termo a termo:
z(u) = 35e^2u ;-; e^-u ;+;75cos u ;-;115sin u

Passo 6

Retornamos a y(t)=zl(t-tfracpi2r). Usando
cos(t-tfracpi2)=sin t e sin(t-tfracpi2)=-cos t, obtemos
y(t) = 35e^2,(t-pi2) ;-;e^-(t-pi2) ;+;75sin t ;+;115cos t

Resposta

boxedy(t) = 35e^2,(t-tfracpi2) - e^-,(t-tfracpi2) + 75sin t + 115cos t

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