Esboce o sólido Q limitado pelas superfícies S_{1}: z=1-x^{2}, \quad S_{2}: \quad x+y=1 \mathrm{e} os planos x=0, y=0 e z=0; no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do sólido Q no primeiro octante limitado por
– a superfície S_{1}\colon z=1-x^{2},
– o plano inclinado S_{2}\colon x+y=1,
– os planos coordenados x=0, y=0 e z=0.
O conteúdo envolvido é a descrição de regiões em coordenadas cartesianas e a projeção no plano xy.

Passo 2

Para entender o contorno em planta, projetamos Q no plano xy. Como x\ge0, y\ge0 e x+y\le1, a região de projeção é
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\},
que é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1).

Passo 3

Em cada ponto (x,y)\in D, z varia entre o plano de base z=0 e o teto parabólico z=1-x^{2}. Logo
Q=\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\;0\le z\le1-x^{2}\}.

Passo 4

As arestas e curvas de interseção são:
– Na reta x=0, y\in[0,1], o teto dá z=1.
– Na reta y=0, x\in[0,1], o teto é z=1-x^{2}, descendo de z=1 em x=0 até z=0 em x=1.
– Na face inclinada x+y=1, temos a curva
\bigl\{(x,1-x,1-x^{2})\mid 0\le x\le1\bigr\},
que liga (0,1,1) a (1,0,0).

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe o triângulo de base no plano xy.
  2. Sobre esse triângulo, trace a superfície parabólica z=1-x^{2}: em x=0 atinge z=1, e em x=1 toca o plano z=0.
  3. As faces verticais são as retas em x=0 e y=0, e a face inclinada é x+y=1.
O sólido se parece com um “telhado” parabólico apoiado sobre o triângulo x\ge0, y\ge0, x+y\le1.

Resposta

O sólido Q pode ser descrito por
Q=\bigl\{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1-x,\;0\le z\le1-x^{2}\bigr\},
cuja base é o triângulo \{0\le x\le1,\;0\le y\le1-x\} e cujo teto é a parábola z=1-x^{2}.

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