Esboce o sólido Q limitado pelas superfícies S_{1}: x^{2}+z^{2}=4, S_{2}: x+y=5 e o plano z=2; no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sólido Q que, no primeiro octante (x,y,z\ge0), é delimitado lateralmente pelo cilindro
S_{1}:\;x^{2}+z^{2}=4,
por trás pelo plano inclinado
S_{2}:\;x+y=5,
e por cima pelo plano
z=2.
Este é um problema de visualizar regiões em \mathbb{R}^3 definidas por superfícies elementares (cilindro e planos) e pelo primeiro octante.

Passo 2

Projete Q no plano xz. Como Q está dentro de x^{2}+z^{2}\le4 e em z\le2 no primeiro octante, a projeção no plano xz é o quarto de disco
D=\bigl\{(x,z)\mid x\ge0,\;z\ge0,\;x^{2}+z^{2}\le4,\;z\le2\bigr\}.

Passo 3

Para cada ponto (x,z)\in D, a coordenada y varia desde y=0 até o plano x+y=5, ou seja,
0\le y\le 5-x.
Assim, em coordenadas,
Q=\bigl\{(x,y,z)\mid 0\le z\le2,\;0\le x\le\sqrt{4-z^{2}},\;0\le y\le5-x\bigr\}.

Passo 4

Interpretando geometricamente:
  • A “base” é o quarto de círculo de raio 2 no plano z=0.
  • O sólido é obtido extrudando esse quarto de círculo ao longo do eixo y, de y=0 até a reta oblíqua y=5-x.
  • Superiormente é limitado pelo plano horizontal z=2, e lateralmente pelo cilindro x^{2}+z^{2}=4.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x, y e z com origem comum.
  2. No plano z=0, marque o quarto de círculo de raio 2 em x\ge0, z\ge0.
  3. Puxe uma superfície vertical desse quarto de círculo paralela a y, que será cortada pela face oblíqua x+y=5 (reta de interseção em cada geratriz).
  4. Trace o plano z=2 acima, para ver a tampa superior plana.
  5. O contorno em y diminui linearmente de 5 (quando x=0) até 3 (quando x=2).

Resposta

O sólido é um “quarto de cilindro” de raio 2 e altura 2, extrudido ao longo de y de 0 até 5-x, e esquematicamente:
  • Base no plano z=0: quarto de círculo x^{2}+z^{2}\le4.
  • Teto plano: z=2.
  • Corte oblíquo posterior: x+y=5.
  • Faces laterais: coordenadas x=0, y=0, e cilindro x^{2}+z^{2}=4.

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