Desenhe as soluções das seguintes inequações desigualdades.
(c) |x-4|>2|x^2-1|.

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver
|x-4| > 2,|x^2-1|
e desenhar a solução na reta real. Como há valores dentro de módulo que mudam de sinal em x=4 e em x^2-1=0 (isto é, x=-1 e x=1), vamos estudar quatro intervalos:
(-infty,-1),[-1,1),[1,4),[4,infty)

Passo 2

Intervalo x>=4: aqui x-4>=0 e x^2-1>=0, então a desigualdade vira
x-4 > 2,(x^2-1) Long<=ftrightarrow x-4 > 2x^2-2 Long<=ftrightarrow 0 > 2x^2 - x + 2
O discriminante de 2x^2 - x +2 é De<a = 1-16<0, logo 2x^2 - x +2>0 para todo x. Não há solução em [4,infty).

Passo 3

Intervalo 1<= x<4: aqui x-4<0 mas x^2-1>=0, então
4 - x > 2,(x^2-1) Long<=ftrightarrow 0 > 2x^2 + x -6
A equação 2x^2 + x -6=0 tem raízes x=-2 e x=tfrac32, e 2x^2 + x -6<0 para -2<x<tfrac32. Intersectando com [1,4) obtemos
1 <= x < tfrac32

Passo 4

Intervalo -1<= x<1: aqui x-4<0 e x^2-1<0, logo
4 - x > 2,(1 - x^2) Long<=ftrightarrow 0 > -2x^2 + x -2 Long<=ftrightarrow 2x^2 - x +2 < 0
Mas 2x^2 - x +2 tem De<a=1-16<0 e é sempre positiva. Portanto -2x^2 + x -2<0 vale para todo -1<= x<1, dando
-1 <= x < 1

Passo 5

Intervalo x< -1: aqui x-4<0 e x^2-1>=0, então
4 - x > 2,(x^2-1) Long<=ftrightarrow 0 > 2x^2 + x -6,
que, como já vimos, é 2x^2 + x -6<0 para -2<x<tfrac32. Intersectando com x< -1 sobra
-2 < x < -1

Passo 6

Juntando tudo, as soluções aparecem em
(-2,-1);cup;[-1,1);cup;[1,tfrac32) ;=; (-2,tfrac32)

Passo 7

Para desenhar na reta, marcamos pontos abertos em x=-2 e x=tfrac32 e pintamos todo o intervalo entre eles.

Resposta

xinl(-2,tfrac32r)

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