Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((\operatorname{sen} y-y \operatorname{sen} x) d x+(\cos x+x \cos y-y) d y=0)
((\operatorname{sen} y-y \operatorname{sen} x) d x+(\cos x+x \cos y-y) d y=0)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
pede para determinarmos se ela é exata e, caso seja, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é exatidão de equações diferenciais múltiplas, que exige verificar a condição
onde
e
. Em seguida, vamos buscar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, concluímos que a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
com
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
Da igualdade obtemos
Passo 5
Substituindo
em
, temos a função potencial completa:
A solução geral implícita da equação diferencial é dada por
onde
é constante.