Determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
((\operatorname{sen} y-y \operatorname{sen} x) d x+(\cos x+x \cos y-y) d y=0)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(sin y - ysin x),dx + (cos x + xcos y - y),dy = 0,
pede para determinarmos se ela é exata e, caso seja, encontrar sua solução geral. O conteúdo aqui é exatidão de equações diferenciais múltiplas, que exige verificar a condição
partial Mpartial y = partial Npartial x,
onde M(x,y)=sin y - ysin x e N(x,y)=cos x + xcos y - y. Em seguida, vamos buscar uma função potencial F(x,y) tal que dF=M,dx+N,dy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(sin y - ysin x) =cos y - sin x,
partial Npartial x =partialpartial x(cos x + xcos y - y) =-sin x + cos y
Como cos y - sin x = -sin x + cos y, concluímos que a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe F(x,y) com
partial Fpartial x = M(x,y)=sin y - ysin x
Integramos em relação a x:
F(x,y) =integral(sin y - ysin x),dx = xsin y + ycos x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial Fpartial y = xcos y + cos x + h'(y) stackrel!=N(x,y)=cos x + xcos y - y
Da igualdade obtemos
h'(y)=-y Longrightarrow h(y)=-y^22

Passo 5

Substituindo h(y) em F, temos a função potencial completa:
F(x,y)=xsin y + ycos x - y^22
A solução geral implícita da equação diferencial é dada por
F(x,y)=C,
onde C é constante.

Resposta

boxedxsin y + ycos x - y^22 = C

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