Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
z=\ln \left(2 x^{2}+y^{2}-1\right), \quad \operatorname{sen} x-\operatorname{sen} y.

Passo 1

O enunciado dá uma função de duas variáveis cuja expressão é composta por duas partes: \ln\!\bigl(2x^{2}+y^{2}-1\bigr) e \sin x-\sin y. Preciso representar graficamente o domínio dessa função no plano (x,y).
Informações relevantes dadas:
  • A primeira expressão é \ln\!\bigl(2x^{2}+y^{2}-1\bigr).
  • A segunda expressão é \sin x-\sin y.
O que o enunciado pede:
  • Determinar e representar no plano (x,y) o conjunto de pontos onde ambas as expressões estão bem definidas (ou seja, o domínio da função).

Passo 2

Condição de existência da função logaritmo: a função \ln(t) está definida apenas para t>0. Portanto, para que \ln\!\bigl(2x^{2}+y^{2}-1\bigr) exista precisamos ter
2x^{2}+y^{2}-1>0.
Escrevendo de forma padrão:
2x^{2}+y^{2}>1.
Expliquei cada símbolo:
  • x e y são as coordenadas do ponto no plano.
  • 2x^{2}+y^{2} é uma combinação quadrática em x e y.
  • O sinal > indica que estamos exigindo estritamente valores maiores que 1 (a igualdade não serve porque \ln(0) não existe).

Passo 3

Condição para a parte \sin x-\sin y: a função seno está definida para todo real, logo \sin x-\sin y não impõe restrição adicional; seu domínio é todo \mathbb{R}^{2}.
Assim, o domínio da função completa é a interseção dos domínios das duas partes, ou seja, é justamente o conjunto dos (x,y) que satisfazem
2x^{2}+y^{2}>1.

Passo 4

Interpretação geométrica da desigualdade \,2x^{2}+y^{2}>1:
Escrevemos a desigualdade na forma canónica de elipse. Dividindo ambos os lados por 1,
\frac{x^{2}}{1/2}+\frac{y^{2}}{1}>1.
Isto mostra que a curva de contorno dada por \frac{x^{2}}{1/2}+\frac{y^{2}}{1}=1 é uma elipse centrada na origem com semieixos
a=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\quad\text{(direção \(x\))},\qquad b=1\quad\text{(direção \(y\))}.çãçã
Pontos notáveis da elipse (que ficam na fronteira, mas não pertencem ao domínio porque a desigualdade é estrita):
(\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,0)\quad\text{e}\quad(0,\pm 1).

Passo 5

Como a desigualdade é do tipo >, o domínio é a região exterior à elipse (a elipse em si não pertence ao domínio). Para desenhar no plano (x,y):
  • Desenhe a elipse centrada na origem com interceptos x=\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}} e y=\pm 1.
  • Trace a fronteira da elipse de modo pontilhado (ou traceada) para indicar que ela não está incluída.
  • Sombreie (ou indique) a região do plano que fica fora dessa elipse — essa é a região onde \,2x^{2}+y^{2}>1.
Exemplo de verificação de pontos:
  • O ponto (0,0) 2\cdot 0^{2}+0^{2}-1=-1, não satisfaz a condição, logo não está no domínio.
  • O ponto (1,0) 2\cdot1^{2}+0-1=1>0, está no domínio.
Observação técnica curta: como (x,y)\mapsto 2x^{2}+y^{2}-1 é contínua e o pré‑imagem de (0,\infty) é aberto, o domínio é um conjunto aberto (a região exterior à elipse, sem a fronteira).

Resposta

\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 2x^{2}+y^{2}>1\} \
Descrição: região exterior à elipse \frac{x^{2}}{1/2}+\frac{y^{2}}{1}=1, com a fronteira excluída.

Exercícios relacionados