Represente graficamente o domínio da função
dada por:
.
Passo 1
O enunciado dá uma função de duas variáveis cuja expressão é composta por duas partes:
e
. Preciso representar graficamente o domínio dessa função no plano
.
Informações relevantes dadas:
- A primeira expressão é
. - A segunda expressão é
.
O que o enunciado pede:
- Determinar e representar no plano
o conjunto de pontos onde ambas as expressões estão bem definidas (ou seja, o domínio da função).
Passo 2
Condição de existência da função logaritmo: a função
está definida apenas para
. Portanto, para que
exista precisamos ter
Escrevendo de forma padrão:
Expliquei cada símbolo:
-
e são as coordenadas do ponto no plano. -
é uma combinação quadrática em e . - O sinal
indica que estamos exigindo estritamente valores maiores que (a igualdade não serve porque não existe).
Passo 3
Condição para a parte
: a função seno está definida para todo real, logo
não impõe restrição adicional; seu domínio é todo
.
Assim, o domínio da função completa é a interseção dos domínios das duas partes, ou seja, é justamente o conjunto dos
que satisfazem
Passo 4
Interpretação geométrica da desigualdade
:
Escrevemos a desigualdade na forma canónica de elipse. Dividindo ambos os lados por
,
Isto mostra que a curva de contorno dada por
é uma elipse centrada na origem com semieixos
Pontos notáveis da elipse (que ficam na fronteira, mas não pertencem ao domínio porque a desigualdade é estrita):
Passo 5
Como a desigualdade é do tipo
, o domínio é a região exterior à elipse (a elipse em si não pertence ao domínio). Para desenhar no plano
:
- Desenhe a elipse centrada na origem com interceptos
e . - Trace a fronteira da elipse de modo pontilhado (ou traceada) para indicar que ela não está incluída.
- Sombreie (ou indique) a região do plano que fica fora dessa elipse — essa é a região onde
.
Exemplo de verificação de pontos:
- O ponto
dá , não satisfaz a condição, logo não está no domínio. - O ponto
dá , está no domínio.
Observação técnica curta: como
é contínua e o pré‑imagem de
é aberto, o domínio é um conjunto aberto (a região exterior à elipse, sem a fronteira).
Resposta
Descrição: região exterior à elipse