Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
y\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+x\left(3 x^{2}-5 y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+x\left(3x^{2}-5y^{2}\right)\,dy=0,
e pede que a resolvamos. Vou primeiro listar as informações úteis que o enunciado fornece:
  • Podemos escrever na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=y\left(x^{2}+y^{2}\right)=x^{2}y+y^{3}, \qquad N(x,y)=x\left(3x^{2}-5y^{2}\right)=3x^{3}-5xy^{2}.
  • A tarefa é: (i) verificar se a equação é exata; (ii) se não for, encontrar um fator integrante (integrating factor) adequado; (iii) resolver a equação (obter a solução geral).

Passo 2

Verificar exatidão: computar as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = x^{2}+3y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 9x^{2}-5y^{2}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}
(aqui x^{2}+3y^{2} não é igual a 9x^{2}-5y^{2}), a equação NÃO é exata na forma dada. Precisamos, portanto, de um fator integrante ou de outro método para resolver.

Passo 3

Observação importante (aula curta e prática): ambas as funções M e N são homogêneas de mesmo grau. Veja:
  • M(x,y)=x^{2}y+y^{3} é homogênea de grau 3.
  • N(x,y)=3x^{3}-5xy^{2} também é homogênea de grau 3.
Quando M e N são homogêneas do mesmo grau, existe uma abordagem padrão: fazer a substituição de escala
v=\frac{y}{x}\quad\text{(ou seja \(y=vx\))},
que transforma a equação em uma equação separável em v e x. Outra consequência útil é que, para funções homogêneas do mesmo grau, um fator integrante conveniente é
\mu(x,y)=\frac{1}{xM+yN},
desde que xM+yN\neq0. Vou usar a substituição y=vx para resolver explicitamente; depois eu mostro o fator integrante obtido pela fórmula acima.

Passo 4

Aplicar a substituição y=vx. Então y=vx implica
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.
Reescrever a equação como dy/dx = -M/N:
\frac{dy}{dx} = -\frac{y(x^{2}+y^{2})}{x(3x^{2}-5y^{2})}.
Substituindo y=vx:
v+x\frac{dv}{dx} = -\frac{(vx)\big(x^{2}+(vx)^{2}\big)}{x\big(3x^{2}-5(vx)^{2}\big)}.
Simplificar os x's:
v+x\frac{dv}{dx} = -\frac{v\big(1+v^{2}\big)}{3-5v^{2}}.

Passo 5

Isolar x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v(1+v^{2})}{3-5v^{2}} - v.
Colocar em uma fração comum:
-\frac{v(1+v^{2})}{3-5v^{2}} - v = v\left(-\frac{1+v^{2}}{3-5v^{2}} - 1\right) = v\left(-\frac{1+v^{2} + (3-5v^{2})}{3-5v^{2}}\right).
Calcular o numerador:
1+v^{2} + (3-5v^{2}) = 4 -4v^{2}=4(1-v^{2}).
Portanto
x\frac{dv}{dx} = v\left(-\frac{4(1-v^{2})}{3-5v^{2}}\right) = -4\,\frac{v(1-v^{2})}{3-5v^{2}}.

Passo 6

Separar variáveis (colocar todas as coisas em v do lado esquerdo e x do lado direito):
\frac{3-5v^{2}}{v(1-v^{2})}\,dv = -4\,\frac{dx}{x}.
Agora vamos integrar ambos os lados. Antes, decomponho a fração em frações parciais. Tenho
\frac{3-5v^{2}}{v(1-v^{2})}=\frac{3-5v^{2}}{v(1-v)(1+v)}.
Fazendo a decomposição
\frac{3-5v^{2}}{v(1-v)(1+v)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{1-v}+\frac{C}{1+v},
encontra-se (resolvendo coeficientes) A=3, B=-1, C=1. Logo
\frac{3-5v^{2}}{v(1-v^{2})}= \frac{3}{v}-\frac{1}{1-v}+\frac{1}{1+v}.

Passo 7

Integrar os dois lados:
\int\left(\frac{3}{v}-\frac{1}{1-v}+\frac{1}{1+v}\right)\,dv = \int -4\,\frac{dx}{x}.
Calcular as integrais:
3\ln|v| + \ln|1-v| + \ln|1+v| = -4\ln|x| + C,
onde usei \int \frac{1}{1-v}\,dv = -\ln|1-v| e o sinal já foi considerado ao somar os termos. Agrupando os logaritmos do lado esquerdo:
\ln\big(|v|^{3}|1-v^{2}|\big) = -4\ln|x| + C.
Exponenciando:
|v|^{3}|1-v^{2}| = C' |x|^{-4}.
Incorporando sinais em C' e removendo barras para escrever de forma implícita geral:
v^{3}(1-v^{2}) = C x^{-4},
onde C é uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa).

Passo 8

Voltar à variável original y usando v=\dfrac{y}{x}:
\left(\frac{y}{x}\right)^{3}\!\left(1-\left(\frac{y}{x}\right)^{2}\right)=C x^{-4}.
Multiplicando ambos os lados por x^{5} para simplificar:
y^{3}(x^{2}-y^{2}) = C x.
Essa é a forma implícita da solução geral.

Passo 9

Agora determino explicitamente um fator integrante (como pedido). Já comentei que para M e N homogêneas do mesmo grau uma escolha conveniente é
\mu(x,y)=\frac{1}{xM+yN}.
Calcular xM+yN para este problema:
xM+yN = x\big(x^{2}y+y^{3}\big) + y\big(3x^{3}-5xy^{2}\big).
Simplificando:
xM+yN = x^{3}y + x y^{3} + 3x^{3}y -5x y^{3} = 4x^{3}y -4x y^{3} = 4xy(x^{2}-y^{2}).
Portanto um fator integrante é
\mu(x,y)=\frac{1}{xM+yN}=\frac{1}{4xy(x^{2}-y^{2})},
definido quando xy(x^{2}-y^{2})\neq0. Multiplicar a equação original por esse \mu torna-a exata (essa é uma propriedade padrão para formas homogêneas do mesmo grau). Assim esse \mu é um fator integrante aceitável.

Resposta

y^{3}(x^{2}-y^{2})=C x

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