Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede que a resolvamos. Vou primeiro listar as informações úteis que o enunciado fornece:
- Podemos escrever na forma padrão
com - A tarefa é: (i) verificar se a equação é exata; (ii) se não for, encontrar um fator integrante (integrating factor) adequado; (iii) resolver a equação (obter a solução geral).
Passo 2
Verificar exatidão: computar as derivadas parciais
Como
(aqui
não é igual a
), a equação NÃO é exata na forma dada. Precisamos, portanto, de um fator integrante ou de outro método para resolver.
Passo 3
Observação importante (aula curta e prática): ambas as funções
e
são homogêneas de mesmo grau. Veja:
-
é homogênea de grau . -
também é homogênea de grau .
Quando
e
são homogêneas do mesmo grau, existe uma abordagem padrão: fazer a substituição de escala
que transforma a equação em uma equação separável em
e
. Outra consequência útil é que, para funções homogêneas do mesmo grau, um fator integrante conveniente é
desde que
. Vou usar a substituição
para resolver explicitamente; depois eu mostro o fator integrante obtido pela fórmula acima.
Passo 4
Aplicar a substituição
. Então
implica
Reescrever a equação como
:
Substituindo
:
Simplificar os
's:
Passo 5
Isolar
:
Colocar em uma fração comum:
Calcular o numerador:
Portanto
Passo 6
Separar variáveis (colocar todas as coisas em
do lado esquerdo e
do lado direito):
Agora vamos integrar ambos os lados. Antes, decomponho a fração em frações parciais. Tenho
Fazendo a decomposição
encontra-se (resolvendo coeficientes)
,
,
. Logo
Passo 7
Integrar os dois lados:
Calcular as integrais:
onde usei
e o sinal já foi considerado ao somar os termos. Agrupando os logaritmos do lado esquerdo:
Exponenciando:
Incorporando sinais em
e removendo barras para escrever de forma implícita geral:
onde
é uma constante arbitrária (pode ser positiva ou negativa).
Passo 8
Voltar à variável original
usando
:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Essa é a forma implícita da solução geral.
Passo 9
Agora determino explicitamente um fator integrante (como pedido). Já comentei que para
e
homogêneas do mesmo grau uma escolha conveniente é
Calcular
para este problema:
Simplificando:
Portanto um fator integrante é
definido quando
. Multiplicar a equação original por esse
torna-a exata (essa é uma propriedade padrão para formas homogêneas do mesmo grau). Assim esse
é um fator integrante aceitável.