Desenhe o trace das curvas
Passo 1
O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
no plano
. O conteúdo envolvido é o de curvas paramétricas em que eliminamos o parâmetro para obter uma relação implícita
e, em seguida, esboçamos seu traçado conhecendo domínio e comportamento.
Passo 2
Eliminamos o parâmetro
. Como
segue
(mas isso exige
). Substituindo em
dá
Elevando ao quadrado:
Logo a curva satisfaz a equação implícita
Passo 3
Analisando o domínio e o sinal:
- Para
, tem-se e , ou seja, o ramo no primeiro quadrante. - Para
, ainda mas , gerando o ramo no quarto quadrante.
No pontotemos , que é uma cúspide (cusp) da semicúbica.
Passo 4
Para entender a inclinação em cada ramo, calculamos
e assim, para
,
Isso mostra inclinação positiva para
e negativa para
. Em
a inclinação não está definida, confirmando a cúspide.
Passo 5
Esboço do gráfico:
- Traçar a curva implícita
somente para . - No ponto
surge uma cúspide: os dois ramos se encontram com direção horizontal. - O ramo superior (para
) cresce suavemente do vértice para o primeiro quadrante. - O ramo inferior (para
) desce simetricamente para o quarto quadrante.
Resposta
O traçado é a semicúbica dada por
com uma cúspide em
, ramo acima do eixo
para
e ramo abaixo do eixo
para
.