Desenhe o trace das curvas
f(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o esboço da curva paramétrica
f(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t^2,\,t^3\bigr),
no plano (x,y). O conteúdo envolvido é o de curvas paramétricas em que eliminamos o parâmetro para obter uma relação implícita F(x,y)=0 e, em seguida, esboçamos seu traçado conhecendo domínio e comportamento.

Passo 2

Eliminamos o parâmetro t. Como
x = t^2,
segue t = \pm\sqrt{x} (mas isso exige x\ge0). Substituindo em y=t^3
y = (\pm\sqrt{x})^3 = \pm x\sqrt{x}.
Elevando ao quadrado:
y^2 = \bigl(x\sqrt{x}\bigr)^2 = x^3.
Logo a curva satisfaz a equação implícita
y^2 = x^3, \quad x\ge0.

Passo 3

Analisando o domínio e o sinal:
  • Para t\ge0, tem-se x=t^2\ge0 e y=t^3\ge0, ou seja, o ramo no primeiro quadrante.
  • Para t<0, ainda x=t^2\ge0 mas y=t^3<0, gerando o ramo no quarto quadrante.
    No ponto t=0 temos (x,y)=(0,0), que é uma cúspide (cusp) da semicúbica.

Passo 4

Para entender a inclinação em cada ramo, calculamos
\frac{dy}{dt}=3t^2, \qquad \frac{dx}{dt}=2t,
e assim, para t\neq0,
\frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{3t^2}{2t} =\frac{3}{2}\,t.
Isso mostra inclinação positiva para t>0 e negativa para t<0. Em t=0 a inclinação não está definida, confirmando a cúspide.

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • Traçar a curva implícita y^2 = x^3 somente para x\ge0.
  • No ponto (0,0) surge uma cúspide: os dois ramos se encontram com direção horizontal.
  • O ramo superior (para t>0) cresce suavemente do vértice para o primeiro quadrante.
  • O ramo inferior (para t<0) desce simetricamente para o quarto quadrante.

Resposta

O traçado é a semicúbica dada por
y^2 = x^3,\quad x\ge0,
com uma cúspide em (0,0), ramo acima do eixo x para t>0 e ramo abaixo do eixo x para t<0.

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