Determine as autofunções normalizadas do problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}+\lambda \cdot y=0, \quad y(0)=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

Passo 1

Temos o problema de Sturm–Liouville
y'' + \lambda\,y = 0,\quad 0<x<\frac\pi2,\qquad y(0)=0,\;y\Bigl(\frac\pi2\Bigr)=0.
Queremos encontrar os valores de \lambda que admitem solução não trivial e, para cada um, a autofunção normalizada no espaço L^2\bigl(0,\tfrac\pi2\bigr).

Passo 2

Para \lambda\le0 não há solução não trivial que satisfaça as duas condições de contorno. Logo suponhamos \lambda=\mu^2>0. A solução geral da equação homogênea é
y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).

Passo 3

Aplicando y(0)=0 obtemos
y(0)=A\cdot1+B\cdot0=0\quad\Longrightarrow\quad A=0,
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y(x)=B\sin(\mu x).
Em seguida, y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0 impõe
\sin\!\Bigl(\mu\frac\pi2\Bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \mu\frac\pi2 = n\pi,\;n\in\mathbb N.

Passo 4

Dessa condi\c{c}~ao segue \mu=2n, n=1,2,\dots. Assim os autovalores s~ao
\lambda_n=(2n)^2=4n^2,
e as correspondentes autofun\c{c}~oes (ainda com fator B) s~ao
y_n(x)=B_n\sin(2n x).

Passo 5

Para escolher B_n de modo que
\int_{0}^{\pi/2}y_n(x)^2\,dx=1,
calculamos
\int_{0}^{\pi/2}\sin^2(2n x)\,dx =\frac12\int_{0}^{\pi/2}\bigl[1-\cos(4n x)\bigr]dx =\frac12\cdot\frac\pi2 =\frac\pi4.
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B_n^2\cdot\frac\pi4=1 \quad\Longrightarrow\quad B_n=\frac{2}{\sqrt\pi}.

Resposta

As autofunções normalizadas são, para n=1,2,\dots,
\phi_n(x) =\frac{2}{\sqrt\pi}\,\sin(2n x),
com autovalores \lambda_n=4n^2.

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