Determine as autofunções normalizadas do problema de valor inicial:
Passo 1
Temos o problema de Sturm–Liouville
Queremos encontrar os valores de
que admitem solução não trivial e, para cada um, a autofunção normalizada no espaço
.
Passo 2
Para
não há solução não trivial que satisfaça as duas condições de contorno. Logo suponhamos
. A solução geral da equação homogênea é
Passo 3
Aplicando
obtemos
logo
Em seguida,
impõe
Passo 4
Dessa condi\c{c}~ao segue
,
. Assim os autovalores s~ao
e as correspondentes autofun\c{c}~oes (ainda com fator
) s~ao
Passo 5
Para escolher
de modo que
calculamos
Logo
Resposta
As autofunções normalizadas são, para
,
com autovalores
.