Determine o domínio:
f(t)=\left(\frac{\operatorname{sen} t}{t}, \operatorname{tg} t\right)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(t)=\Bigl(\frac{\operatorname{sen} t}{t},\,\operatorname{tg} t\Bigr).
Para isso precisamos garantir que ambos os componentes estejam definidos, ou seja:
  1. No quociente \frac{\operatorname{sen} t}{t}, o denominador t não pode ser zero.
  2. Na tangente \operatorname{tg} t=\frac{\operatorname{sen} t}{\cos t}, o denominador \cos t não pode ser zero.

Passo 2

Analisando \displaystyle \frac{\operatorname{sen} t}{t}:
o domínio desse componente é
D_1 = \{\,t\in\R \mid t \neq 0\},
pois dividimos por t, logo precisamos de t\neq0.

Passo 3

Analisando \displaystyle \operatorname{tg} t=\frac{\operatorname{sen} t}{\cos t}:
para estar definido é necessário \cos t\neq0.
Sabemos que
\cos t=0\quad\Longleftrightarrow\quad t = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\Z.
Portanto
D_2 = \bigl\{\,t\in\R \mid t \neq \tfrac{\pi}{2} + k\pi,\\ k\in\Z\bigr\}.

Passo 4

O domínio de f é a interseção dos domínios dos dois componentes:
\Dom(f) = D_1 \;\cap\; D_2 =\bigl\{\,t\in\R \mid t\neq0 \text{ e } t\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\Z\bigr\}.

Resposta

\Dom(f)=\bigl\{\,t\in\R \mid t\neq0,\\ t\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi,\\ k\in\Z\bigr\}.

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