Desenhe o vetor correspondente a cada um dos complexos abaixo e calcule seu módulo:
z_{1}=3+2 i, \quad z_{2}=4-i, \quad z_{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-i, \quad z_{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i \quad \text { e } \quad z_{5}=3-2 i

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Desenhar o vetor correspondente a cada número complexo dado.
  • Calcular o módulo de cada número complexo.
Os complexos fornecidos:
z_{1}=3+2i,\quad z_{2}=4-i,\quad z_{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-i,\quad z_{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i,\quad z_{5}=3-2i.

Passo 2

Como representar geometricamente (como vetor) um número complexo — instrução passo a passo para desenhar:
  • Um complexo z=a+bi corresponde ao ponto (a,b) no plano cartesiano (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical).
  • Para desenhar o vetor associado a z: marcar o ponto (a,b) e traçar uma flecha do ponto origem (0,0) até (a,b). Essa flecha é o vetor representando z.
  • Escala e sinais: se a>0 o ponto fica à direita da origem; se a<0 fica à esquerda. Se b>0 fica acima; se b<0 fica abaixo.
  • Coordenadas a usar (peguei os pares (a,b) a partir de cada z):
    • Para z_{1}: (3,2).
    • Para z_{2}: (4,-1).
    • Para z_{3}: \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-1\right).
    • Para z_{4}: \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).
    • Para z_{5}: (3,-2).
Siga essas coordenadas no papel quadriculado: marque cada ponto e desenhe a flecha do origem até o ponto correspondente.

Passo 3

Fórmula e ideia para calcular o módulo (distância do ponto à origem):
  • Seja z=a+bi. O módulo |z| é a distância do ponto (a,b) até a origem (0,0).
  • Pela geometria do triângulo retângulo (teorema de Pitágoras),
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Explicando: a diferença horizontal é a, a vertical é b; a hipotenusa (distância) é \sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Calcular |z_{1}| passo a passo:
  • Aqui a=3 e b=2.
|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.

Passo 5

Calcular |z_{2}| passo a passo:
  • Aqui a=4 e b=-1. Note que b^{2}=(-1)^{2}=1.
|z_{2}|=\sqrt{4^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.

Passo 6

Calcular |z_{3}| passo a passo:
  • Aqui a=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e b=-1.
  • Primeiro calcule a^{2}:
\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{(\sqrt{3})^{2}}{4}=\dfrac{3}{4}.
  • E b^{2}=(-1)^{2}=1=\dfrac{4}{4}.
  • Soma:
a^{2}+b^{2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{4}{4}=\dfrac{7}{4}.
  • Portanto
|z_{3}|=\sqrt{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}.

Passo 7

Calcular |z_{4}| passo a passo:
  • Aqui a=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} e b=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Calcule cada quadrado:
\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\dfrac{(\sqrt{2})^{2}}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
  • Soma:
a^{2}+b^{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.
  • Portanto
|z_{4}|=\sqrt{1}=1.

Passo 8

Calcular |z_{5}| e observação:
  • Aqui a=3 e b=-2.
|z_{5}|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Observação útil para a prova: z_{5} é a reflexão de z_{1} em relação ao eixo real (troca de sinal na parte imaginária). Reflexões no eixo real não alteram o módulo, por isso |z_{5}|=|z_{1}|.

Resposta

|z_{1}|=\sqrt{13}
|z_{2}|=\sqrt{17}
|z_{3}|=\dfrac{\sqrt{7}}{2}
|z_{4}|=1
|z_{5}|=\sqrt{13}

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