Determine todos os complexos z tais que z^{3}=\bar{z}.
16. Se z=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} calcule z^{6}.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas:
  • Encontrar todos os complexos z tais que z^{3}=\bar{z}.
  • Se z=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}, calcular z^{6}.
Informações dadas:
  • A variável z é um número complexo arbitrário na primeira parte.
  • Na segunda parte é dado um z específico: z=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 2

Escolha do método e explicação das ferramentas que vou usar.
Vou usar a representação polar/exponencial dos complexos porque potências e conjugação ficam muito simples nessa forma — é a maneira mais direta aqui. Lembre-se:
  • Qualquer número complexo não nulo pode ser escrito como z=r e^{i\theta}, onde r=|z|\ge 0 é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (um ângulo).
  • A conjugada é \bar{z}=r e^{-i\theta}.
  • Potências: z^{n}=r^{n}e^{i n\theta} (fórmula de De Moivre).

Passo 3

Aplicando a representação polar à equação z^{3}=\bar{z}.
Se z=0 já podemos testar separadamente. Se z\neq 0, escrevemos z=r e^{i\theta} com r>0. Então
z^{3}=r^{3}e^{i3\theta}, \qquad \bar{z}=r e^{-i\theta}.
Igualando os dois complexos obtemos igualdade de módulos e de argumentos (módulos iguais e argumentos iguais módulo 2\pi):
  • Módulos: r^{3}=r.
  • Argumentos: 3\theta \equiv -\theta \pmod{2\pi}.

Passo 4

Resolver a equação dos módulos r^{3}=r.
Escreve-se
r^{3}-r=0 \quad\Rightarrow\quad r(r^{2}-1)=0.
Como r\ge 0, as soluções são r=0 ou r=1.

Passo 5

Analisar cada caso.
Caso r=0: então z=0. Isso é solução porque 0^{3}=0=\overline{0}.
Caso r=1: então a equação dos argumentos vale
3\theta \equiv -\theta \pmod{2\pi} \quad\Rightarrow\quad 4\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}.
Logo existe inteiro k tal que 4\theta=2\pi k, isto é
\theta=\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
As quatro classes mod 2\pi correspondentes (tomando k=0,1,2,3) dão
\theta=0,\\ \frac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \frac{3\pi}{2}.
Com r=1 isso gera os números
e^{i0}=1,\quad e^{i\pi/2}=i,\quad e^{i\pi}=-1,\quad e^{i3\pi/2}=-i.
Verificação rápida: 1^{3}=1=\overline{1}, i^{3}=-i=\overline{i}, etc., todas obedecem à equação.

Passo 6

Concluir o conjunto de todas as soluções da primeira pergunta.
Juntando r=0 e as soluções com r=1, o conjunto de todos os z que satisfazem z^{3}=\bar{z} é
\{0,\,1,\,i,\,-1,\,-i\}.

Passo 7

Calcular z^{6} para z=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Primeiro identificar módulo e argumento. O módulo é
|z|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1.
O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}, com x>0,y>0, logo \theta=\dfrac{\pi}{3}. Portanto
z=e^{i\pi/3}.
Aplicando De Moivre,
z^{6}=\bigl(e^{i\pi/3}\bigr)^{6}=e^{i6\pi/3}=e^{i2\pi}=1.

Resposta

\{0,\,1,\,i,\,-1,\,-i\}
1

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