Determine todos os complexos z tais que z^{3}=\bar{z}.
16. Se z=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} calcule z^{6}.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas:
Encontrar todos os complexos z tais que z^{3}=\bar{z}.
Se z=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}, calcular z^{6}.
Informações dadas:
A variável z é um número complexo arbitrário na primeira parte.
Na segunda parte é dado um z específico: z=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Passo 2
Escolha do método e explicação das ferramentas que vou usar.
Vou usar a representação polar/exponencial dos complexos porque potências e conjugação ficam muito simples nessa forma — é a maneira mais direta aqui. Lembre-se:
Qualquer número complexo não nulo pode ser escrito como z=r e^{i\theta}, onde r=|z|\ge 0 é o módulo e \theta=\arg(z) é o argumento (um ângulo).
A conjugada é \bar{z}=r e^{-i\theta}.
Potências: z^{n}=r^{n}e^{i n\theta} (fórmula de De Moivre).
Passo 3
Aplicando a representação polar à equação z^{3}=\bar{z}.
Se z=0 já podemos testar separadamente. Se z\neq 0, escrevemos z=r e^{i\theta} com r>0. Então