Forneça o que se pede
Desenvolva 2 x^{3}-20 x^{2}+68 x-76 em torno de x=3

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o polinômio
P(x)=2x^{3}-20x^{2}+68x-76
em torno de x=3.
Isso equivale a escrever P(x) como série de Taylor truncada (aqui exata) centrada em x_{0}=3:
P(x)=\sum_{n=0}^{3}\frac{P^{(n)}(3)}{n!}(x-3)^{n}.

Passo 2

Calculamos P(3):
P(3)=2\cdot3^{3}-20\cdot3^{2}+68\cdot3-76 =54-180+204-76=2.

Passo 3

Encontramos as derivadas e seus valores em x=3:
P'(x)=6x^{2}-40x+68, \quad P'(3)=6\cdot9-120+68=2.
P''(x)=12x-40, \quad P''(3)=12\cdot3-40=-4.
P'''(x)=12, \quad P'''(3)=12.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Taylor em torno de x=3:
P(x)=P(3)+P'(3)(x-3)+\frac{P''(3)}{2!}(x-3)^{2}+\frac{P'''(3)}{3!}(x-3)^{3},
substituindo os valores:
P(x)=2 + 2\,(x-3) + \frac{-4}{2}(x-3)^{2} + \frac{12}{6}(x-3)^{3}.
Logo,
P(x)=2 + 2(x-3) -2(x-3)^{2} +2(x-3)^{3}.

Resposta

P(x)=2 + 2(x-3) -2(x-3)^{2} +2(x-3)^{3}.

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