1. Desenvolva \frac{1}{1-x} em torno de x=1

Passo 1

O enunciado pede a expansão de
f(x)=\frac{1}{1-x}
em torno de x=1. Note que f tem uma singularidade simples em x=1, então não existe série de Taylor convergente aí, mas sim uma série de Laurent centrada em x=1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
h = x - 1,
de modo que x=1+h. Substituindo em f temos
f(1+h)=\frac{1}{1-(1+h)}=\frac{1}{-\,h}=-\frac{1}{h}.

Passo 3

A expansão de Laurent de -1/h em potências de h (isto é, de x-1) contém apenas o termo principal, pois não há parte analytic regular em h=0. Logo
f(1+h)=-\,h^{-1}.

Resposta

A série de Laurent de \displaystyle\frac{1}{1-x} em torno de x=1 é
-\frac{1}{x-1}\,,
válida para 0<\lvert x-1\rvert<\infty.

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